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高坂 良史大学院海事科学研究科 海事科学専攻教授
研究活動情報
■ 論文- We propose a thresholding algorithm for Willmore-type flows in \mathbb{R}^{N} . This algorithm is constructed based on the asymptotic expansion of the solution to the initial value problem for a fourth-order linear parabolic partial differential equation whose initial data is the indicator function on the compact set \Omega_{0} . The main results of this paper demonstrate that the boundary \partial\Omega(t) of the new set \Omega(t) , generated by our algorithm, is included in O(t) -neighborhood of \partial\Omega_{0} for small t>0 and that the normal velocity from \partial\Omega_{0} to \partial\Omega(t) is nearly equal to the L^{2} -gradient of Willmore-type energy for small t>0 . Finally, numerical examples of planar curves governed by the Willmore flow are provided by using our thresholding algorithm.European Mathematical Society - EMS - Publishing House GmbH, 2024年11月, Interfaces and Free Boundaries, 27(2) (2), 235 - 283, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2020年12月, Advanced Studies in Pure Mathematics, 85, 227 - 238, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2020年01月, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 235(1) (1), 471 - 516, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- RIMS, 2017年, RIMS Kokyuroku Bessatsu, B63, 167 - 192, 英語On the criteria for the stability of unduloids[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2016年, GEOMETRIC PROPERTIES FOR PARABOLIC AND ELLIPTIC PDE'S, 176, 121 - 148, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2014年05月, DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B, 19(3) (3), 697 - 714, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2014年01月, ARCHIVE FOR RATIONAL MECHANICS AND ANALYSIS, 211(1) (1), 301 - 334, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年05月, ADVANCES IN DIFFERENTIAL EQUATIONS, 15(5-6) (5-6), 437 - 472, 英語SURFACE DIFFUSION WITH TRIPLE JUNCTIONS: A STABILITY CRITERION FOR STATIONARY SOLUTIONS[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2009年11月, HOKKAIDO MATHEMATICAL JOURNAL, 38(4) (4), 721 - 769, 英語Nonlinear stability of stationary solutions for curvature flow with triple junction[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2009年, Banach Center Publ., 86, 83 - 101, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2008年, SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 40(2) (2), 491 - 515, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2006年02月, DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS, 19(2) (2), 121 - 142, 英語ON THE EXISTENCE OF SOLUTIONS OF THE HELFRICH FLOW AND ITS CENTER MANIFOLD NEAR SPHERES[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2005年, SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 36(4) (4), 1031 - 1056, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2003年06月, ASYMPTOTIC ANALYSIS, 34(3-4) (3-4), 333 - 358, 英語On a two-point free boundary problem for a quasilinear parabolic equation[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2002年, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 12(1) (1), 393 - 408, 英語Spiral solutions for a weakly anisotropic curvature flow equation[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2001年09月, NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS, 45(7) (7), 865 - 894, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2001年, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 11(2) (2), 753 - 779, 英語Three phase boundary motion by surface diffusion in triangular domain[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- European Mathematical Society Publishing House, 2001年, Interfaces and Free Boundaries, 3(1) (1), 45 - 80, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年Motion of phase boundaries by geometric evolution equations
- 2009年On existence of a solution for curvature flow with triple junction
- 2008年Phase boundary motion by surface diffusion with triple junction
- 2007年表面拡散流方程式の時間大域解の存在と定常解の安定性について
- 2007年, 「熊本大学応用解析セミナー」報告集, 43 - 47表面拡散流方程式による相境界運動の定常解の安定性について
- 2007年幾何学的時間発展方程式の時間大域解の存在と定常解の安定性について
- 2007年Stability analysis of phase boundary motion by surface diffusion with triple junction
- 2006年表面拡散流方程式による３相境界運動の数学的解析について
- 2006年Stability of stationary solutions for surface diffusion flow with boundary conditions
- 2006年Stability analysis of phase boundary motion by surface diffusion in a bounded domain
- 2005年, 「偏微分方程式と現象」報告集, 98 - 108表面拡散流方程式による3相境界運動の定常解の線形安定性について
- 2005年Linearized stability analysis of three phase boundary motion by surface diffusion in a bounded domain
- 2004年表面拡散流方程式による３相境界運動の定常解の線形安定性について
- 2004年Linearized stability analysis of three phase boundary motion by surface diffusion
- 2004年A criterion of linearized stability of stationary solutions for surface diffusion flow equation
- 2004年, RIMS Kokyuroku, 1356, 27 - 43Stability analysis of stationary solutions for surface diffusion flow equation
- 2004年Linearized stability analysis of three phase boundary motion by surface diffusion
- 2004年A criterion of linearized stability of stationary solutions for surface diffusion flow equation
- 2003年Stability analysis of stationary solutions for surface diffusion flow equation
- 2003年, 数理解析研究所講究録, 1323, 13 - 26On time-periodic solution for a weakly anisotropic curvature flow equation with driving force term
- 2003年On phase boundary motion by surface diffusion in a bounded domain
- 2003年, Proceedings of the Ryukoku Workshop 2003, 68 - 77Linear stability analysis of stationary solutions for surface diffusion flow equation in a bounded domain
- 2003年, RIMS Kokyuroku, 1323, 13 - 26On time-periodic solution for a weakly anisotropic curvature flow equation with driving force term
- 2003年Stability analysis of stationary solutions for surface diffusion flow equation
- 2003年On phase boundary motion by surface diffusion in a bounded domain
- 2003年, 68 - 77Linear stability analysis of stationary solutions for surface diffusion flow equation in a bounded domain
- 2002年Three phase boundary motions in triangular domain
- 2002年, RIMS Kokyuroku, 1258, 94 - 107Self-similar solutions of two-point free boundary problem for heat equation
- 2002年Three phase boundary motions in triangular domain
- 2001年Some topics of three-phase boundary problem for a surface diffusion equation
- 2001年On free boundary problem arising in the combustion theory
- 2001年, RIMS Kokyuroku, 1210, 43 - 53Three phase boundary motion by surface diffusion
- 2001年On free boundary problem arising in the combustion theory
- 2000年, Free Boundary Problems: Theory and Applications II, 207 - 221On three-phase boundary motion for a fourth order model - symmetric case
- 1999年, RIMS Kokyuroku, 1076, 41 - 56Free boundary problem for quasilinear parabolic equation with fixed angle of contact to a boundary
- 第47回さいたま数理解析セミナー, 2026年03月幾何学的発展方程式に対する閾値型近似アルゴリズム[招待有り]
- 微分方程式とその周辺＠野田, 2026年01月Willmore 流の閾値型近似アルゴリズムについて[招待有り]
- Matrix Research Program: Gradient Flows in Geometry and PDE, 2025年01月, 英語On the existence of a self-similar solution to the Mullins' problem[招待有り]
- 日本応用数理学会2024年度年会, 2024年09月Helfrich型エネルギーの勾配流に対する閾値型近似アルゴリズムについて
- Regularity and Singularity for Geometric PDE and related topics, 2024年01月, 英語A threshold-type algorithm to the gradient flow of the Canham-Helfrich functional[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第73回南大阪応用数学セミナー, 2023年11月, 日本語Canham-Helfrich汎関数の勾配流に対する閾値型近似[招待有り]公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 2023年度秋季総合分科会 函数方程式論分科会, 2023年09月Willmore流に対する閾値型近似アルゴリズムについて[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 「応用解析」研究会定例セミナー, 2023年04月, 日本語幾何学的発展方程式に対する進行波解について[招待有り]公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 北陸応用数理研究会2023, 2023年03月, 日本語4階幾何学的発展方程式による曲線の挙動解析について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- The 40th Kyushu Symposium on Partial Differential Equations, 2023年01月, 英語On traveling waves of geometric evolution equations with area con- straints[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 非線型偏微分方程式と走化性, 2022年11月, 日本語体積保存型幾何学的発展方程式の進行波解について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- さいたま数理解析セミナー, 2022年11月, 日本語4階幾何学的発展方程式について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- RIMS共同研究(公開型)偏微分方程式の臨界現象と正則性理論及び漸近解析, 2022年06月, 日本語表面拡散方程式の境界値問題に対する進行波解について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第45回偏微分方程式論札幌シンポジウム, 2020年08月, 日本語Stability of steady states for geometric evolution equations[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Mini-symposium Nonlinear Geometric Partial Differential Equations, 2020年02月, 英語Stability of the steady states for evolving surfaces by surface diffusion[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第31回さいたま数理解析セミナー, 2020年01月, 日本語接触角境界条件をもつ表面拡散方程式に対する進行波解について[招待有り]公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 楕円型・放物型微分方程式研究集会, 2019年11月, 英語On the traveling waves for surface diffusion of curves with constant contact angles[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 7th International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences, 2018年08月, 英語, モスクワ大学, 国際会議Stability of axisymmetric CMC surfaces as the steady states for the surface diffusion equation口頭発表（一般）
- The 11th MSJ-SI The Role of Metrics in the Theory of Partial Differential Equations, 2018年07月, 英語, 北海道大学, 国際会議On the dynamics for the volume-preserving geometric flows[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 明治非線型数理セミナー one day workshop, 2018年02月, 日本語, 明治大学中野キャンパス, 国内会議体積保存性型幾何学的発展方程式の解の挙動について口頭発表（招待・特別）
- Viscosity solution approach to asymptotic problems in front propagation, dynamical system and related topics, 2017年07月, 英語, 京都大学数理解析研究所, 国際会議Stability and bifurcation diagram of the steady states for the surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- International Conference on PDEs, Geometric Analysis and Functional Inequalities, 2017年03月, 英語, University of Sydney, 国際会議On the bifurcation diagrams for steady states of the surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 大阪駅前セミナー, 2017年01月, 日本語, 龍谷大学大阪梅田キャンパス, 国内会議表面拡散方程式の定常問題としての Delaunay 曲面の安定性解析[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Elucidation of configurational structure in micro behavior and collective pattern formation, 2016年09月, 英語, 京都大学数理解析研究所, 国際会議Bifurcation analysis for steady states of surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop on interface motions and free boundary problems: mathematical analysis, numerical analysis, 2016年07月, 英語, いするの家 西原脩三記念館, 国際会議On steady states for the surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 東北大学応用数学セミナー, 2016年06月, 日本語, 東北大学, 国内会議表面拡散方程式の定常曲面の安定性について[招待有り]公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- Workshop on nonlinear partial differential equations and related topics, 2016年05月, 英語, 石川県文教会館, 国際会議Stability analysis of steady states for surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（一般）
- Geometric flows and related problems, 2016年03月, 日本語, 東京工業大学, 国内会議表面拡散方程式の定常解の安定性解析について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 松山解析セミナー2016, 2016年02月, 日本語, 愛媛大学, 国内会議Stability analysis of the steady states for the surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Geometric aspects on capillary problems and related topics, 2015年12月, 英語, Universidad de Granada, 国際会議Stability of Delaunay surfaces as the steady states for the surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- MPM2015, 2015年11月, 日本語, 宮崎大学, 国内会議体積保存性をもつ曲面の発展方程式の定常曲面の安定性について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Summer School on multiscale and geometric analysis, 2015年07月, 英語, 北海道大学, 国際会議Analysis of stability of the CMC surfaces via the surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 北陸応用数理研究会2015, 2015年02月, 日本語, 金沢大学サテライトプラザ, 国内会議Analysis of stability of the CMC surfaces via the geometric flow with constraints[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- パターン形成と界面ダイナミクスの数理, 2015年01月, 日本語, 京都大学数理解析研究所, 国内会議表面拡散方程式と平均曲率一定曲面口頭発表（基調）
- 南大阪応用数学セミナー, 2015年01月, 日本語, 大阪市立大学, 国内会議Stability analysis of stationary surfaces for the geometric flow with constraints公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 第32回九州における偏微分方程式研究集会, 2015年01月, 英語, 九州大学 西新プラザ, 国際会議Stability analysis of stationary surfaces for surface diffusion equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 東北大学応用数学セミナー, 2014年11月, 日本語, 東北大学, 国内会議Stability analysis of axisymmetric CMC surfaces via surface diffusion equation公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 神戸大学解析セミナー, 2014年10月, 日本語, 神戸大学, 国内会議Analysis of stability of axisymmetric CMC surfaces via surface diffusion equation公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
■ 共同研究・競争的資金等の研究課題
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2024年04月01日 - 2029年03月31日４階非線形放物型偏微分方程式で表される幾何学的発展方程式の解析手法の構築
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 東京工業大学, 2023年04月01日 - 2028年03月31日標準的平均曲率流とその時間発展問題への応用
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2023年04月01日 - 2026年03月31日曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業 基盤研究(C), 基盤研究(C), 神戸大学, 2019年04月 - 2024年03月, 研究代表者表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の形状と特異性の解析Willmore流によって運動が記述される曲面の閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。Willmore流の場合は4階熱方程式に対する基本解のTaylor展開をもとに閾値型近似アルゴリズムが導出できることを2020年度に示したので、2021年度はその近似アルゴリズムにおいて基本解の導関数の展開を導くことによって、閾値関数から得られる閾値集合の境界での閾値関数の勾配評価を得た。また、Willmore汎関数に表面積汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲面についても閾値型近似アルゴリズムを研究し、4階熱方程式に空間変数に関する2階導関数の項を加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解のTaylor展開をもとにすれば、この場合も閾値型近似アルゴリズムが構成できることを示した。さらにWillmore流の場合と同様にしてその閾値関数から得られる閾値集合の境界での閾値関数の勾配評価を導いた。今回得た閾値型近似アルゴリズムは変分的時間離散近似との関係付けが期待できることに気づいたので、現在は曲げエネルギーに長さ汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲線の場合に変分的時間離散近似との関係性をもとにした収束証明を検討している。また、上記の閾値型近似アルゴリズムはHelfrich流(Willmore汎関数に表面積汎関数と体積汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流)によって運動が記述される曲面への応用も期待できるので、それについても現在検討している。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2020年04月01日 - 2023年03月31日曲面・曲線からなる曲率流に対する近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究石井は Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。4 階熱方程式や 2 階の項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式について、その基本解を Taylor 展開することによって閾値型近似アルゴリズムを構成した。更に 4 階熱方程式の場合には、解の挙動を詳しく調べることにより、その解を使って定義される閾値集合の性質やその境界での解の勾配評価を得た。この証明には半空間に対する定義関数を初期値とする 4 階熱方程式の解のある種の正値性が鍵となっている。2 階の項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式の解を用いて定義される閾値集合の場合にも同様の性質が得られると考えており、研究を進めている。
高坂はWillmore汎関数に表面積 (曲線の場合は長さ) 汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流について、閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。低階項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式の基本解の Taylor 展開をもとに、上記の勾配流に対する閾値型近似アルゴリズムを構成した。解を用いて定義される閾値集合について、その境界における解の勾配評価について研究を進めている。
上田はこれまでに研究を進めてきた対称双曲型偏微分方程式系の安定性解析に関する研究に着手し、既知の結果の拡張に成功した。また、一般論の拡張にあたってその最適性に関する問題が浮上したが、京都大学の前川泰則氏と共にその最適性に関する条件の導入にも着手し、ある一定の結果を得ることに成功している。 - 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 東京工業大学, 2018年04月01日 - 2023年03月31日幾何学的測度論を用いた動的変分問題の多面的研究主な研究成果として以下の２つを挙げる． （１）Salvatore Stuvard（ミラノ大学）と共同で前年度から引き続き研究を行っている余次元１の閉修正可能集合を初期値としたブラッケ流の存在定理について，特にブラッケ流の囲む領域の体積変化について，当初の我々の予想を凌ぐシャープな結果を得ることに成功した．論文はAdvances in Calculus of Variationsに出版受理済である．存在を示したブラッケ流は有界変動関数の枠組みにおける平均曲率流にもなっており，そのためブラッケ流特有の非一意性の問題を解決している．有界変動関数の枠組みの時間大域解の存在定理自体が知られていなかった中，この存在定理は一般化された平均曲率流に対して新しい概念を発見した，とも言える結果である． （２）曲面のブラッケの意味での法線方向速度が，平均曲率と外力項の和で表せる問題を考える．葛西－利根川(2014)による正則性定理により，ほとんどの点において動く曲面はパラボリックの意味で局所的にC^1級グラフになることがわかっていたが，外力項がヘルダー連続ではない場合，界面運動を表す2階放物型方程式の強解になるかどうかは未解決だった．この問題に対し，森龍之介（東工大特別研究員）と富松瑛太（D２）と共同で，もしグラフの時間微分がラドン測度であれば，グラフは期待される２階偏微分方程式の強解になっていることが解明された．興味深いことに，Allen-Cahn方程式から得られる解はこの条件を満たしている．これはブラッケの意味での界面速度の繊細な性質を表すものであり，未知であった現象である．論文はIndiana University Math Journalに出版受理済みである．
- 学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), 2017年04月 - 2020年03月競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 明治大学, 2014年04月01日 - 2018年03月31日反応拡散系および自由境界問題の解のパターンダイナミクスの解明反応拡散系などの非線形偏微分方程式系の形状のある解を捉えるために，境界の方程式と場の方程式により構成される「反応界面系」という枠組みを導入した．この方程式系は，特異極限問題から得られる自由境界問題の一種である．その方程式系の多次元進行波解の存在証明や1次元解のダイナミクスを調べることに成功した．また，異方的な外力をもつ平均曲率流問題では，異方性のパラメータが形状にもたらす影響を調べることにも成功した．多次元の形状を数理的に調べる手法として，多層化方程式の概念の導入にも成功した．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 2013年05月31日 - 2018年03月31日動的幾何問題の変分解析幾何学的測度論の枠組みで考える平均曲率流である、Brakkeの平均曲率流に関して基本的な存在定理と正則性定理を証明した。存在定理としては、n+1次元ユークリッド空間の中で任意のn次元閉集合を与えたとき、それを初期データとして時間発展するBrakkeの平均曲率流の時間大域存在を証明した。特異点集合解析については、1次元の場合の3重点周りの正則性理論を証明し、3重点が強い安定性をもつことを測度論的な立場から確立した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 埼玉大学, 2013年04月01日 - 2017年03月31日一般化された回転超曲面とその幾何学的発展問題超曲面に対する変分問題を扱う際、超曲面に何も仮定せずに扱うのは多くの場合困難である。何らかの対称性を仮定すると、曲線に対する変分問題に帰着される。ここでは、第一に、弾性シェルの非完全弾性衝突運動を中心線の運動に問題を帰着し、運動の数学モデルの提唱と数値解析を行った。第二に、与えられた関数を平均曲率とする一般化された回転超曲面の大域的存在を、母線の常微分方程式の大域解の存在に帰着する事で問題を完全に解決させた。第三の成果として、メビウス・エネルギーをメビウス不変性を保ったまま3つの形に分解出来る事を示し、その分解を用いる事で変分公式の導出と様々な関数空間における評価を得た。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 東京工業大学, 2012年05月31日 - 2017年03月31日偏微分方程式の解の形状と挙動に関する系統的研究楕円型および放物型偏微分方程式について解の形状と挙動に関する系統的な研究を行い，主に以下のような成果をあげた． 楕円型方程式については、スケーリング法を適用することによって帰着される方程式に対するLiouville型定理を導出した．また球面上の方程式の特異解の存在・非存在と正値解の構造，非線型項の指数が空間変数に依存する方程式について成果を得た． 放物型方程式については、逆二次のポテンシャル項をもつ線形熱方程式に関する解の構造の解明を行った．また，藤田型方程式に対する時間大域解の有界性の導出と特異解の存在および定常解の安定性解析，フィッシャー型方程式の界面の挙動について成果をあげた．
- 学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), 2012年04月 - 2017年03月, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(B), 室蘭工業大学, 2008年 - 2011年変分構造をもつ幾何学的時間発展方程式の解の挙動に関する研究平均曲率流方程式に対して互いに交わる3つの超曲面の挙動の研究を行い、ガレルキン法や偏微分方程式系に対する解析方法、および摂動法などを組み合わせ、非局所項をもつ非線形放物型偏微分方程式の初期値・境界値問題(境界条件も非線形)に対する時間局所解の存在を明らかにした。また、表面拡散方程式による軸対象な曲面の挙動の研究を行い、定常曲面の線形安定性を得るために対応する固有値問題を導出し、その解析を行った。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 埼玉大学, 2005年 - 2007年群同変性を用いた幾何学的発展方程式の解の安定性の研究本研究では、幾何学的発展方程式として、曲面や曲線の族に定義される汎関数に対する制約条件付勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。自然界に現れる曲線や曲面の形状は、何らかの意味で安定なものである。安定度を測るものが汎関数である。従って、勾配流の収束先は、エネルギー的に安定なものであると考えられる。 長澤と高坂は、汎関数として曲面に対するウィルモア汎関数に、曲面の面積と曲面が囲む領域の堆積を指定した制限付極値問題(ヘルフリッヒ変分問題)に対する勾配流をラグランジュの未定乗数は未知の定数として、構成した。球面の近傍の中心多様鯛について解析した。定常解については、球面からの分岐解についてモード2,4,6,8のものを求めた。分岐方程式を群同変性を用いて変形するが、群同変性分岐理論におけるequivariant branching lemmaは用いていない。従って、同lemmaでは得られない解の存在も示す事が出来た。また長澤は、曲面に対するヘルフリッヒ変分問題の勾配流も考察した。こちらは、特異極限によって制約条件を満たすような近似方程式を考え、近似パラメータに関する一様有界性を示し、更に、その特異極限の存在を証明した。 勾配流方程式は、偏微分方程式の分類でいえば、放物型になる事が多い。小池は、非線形放物型偏微分方程式やその定常問題に相当する非線形楕円型偏微分方程式に対する最大値原理や比較定理について研究し、論文として公表した。太田は、双曲型偏微分方程式で記述される発展方程式の解の安定性について研究し、論文として公表した。阪本は、CR構造を持つ多様体(CR多様体)の研究を行い、CR幾何に適したEinstein性を定義し、その性質を調べた。高坂は、境界条件を伴う表面拡散方程式の定常解の非線型安定性を調べ、論文に著した。掲載は決定済みである。幾何学の変分問題の解は、非線形方程式の弱解であるが、その正則性の有無を調べる事は重要である。立川は、不連続性を持つ積分汎関数に対する最小点の正則性について研究した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(B), 室蘭工業大学, 2004年 - 2006年材料工学にあらわれる非線形問題の数学的な解析平面上の有界領域内で2相を隔てる相境界を表す曲線の運動が幾何学的時間発展方程式の1つである平均曲率流方程式によって記述される数学モデルについて解析を行った。 平均曲率流方程式は、1956年にMullinsによって、粒界の運動方程式として紹介された。また、1979年にはAllenとCahnによって、2元合金の規則相に現れる逆位相境界の運動を記述する界面の運動方程式として平均曲率流方程式が紹介され、そこではGinzburg-Landau型の方程式と平均曲率流方程式との関連性が述べられている。さらに近年では、数理生態学における競争拡散系モデルやBZ反応等の化学反応を記述する反応拡散方程式の特異極限として、平均曲率流方程式が導出されることが知られている。 本年度は、平面上の有界領域内の3重結節点をもつ3相境界運動が平均曲率流方程式によって記述される場合について研究し、この数学モデルの定常曲線(3重結節点をもつ3線分)の非線形安定性の解析を行った。より具体的には、定常曲線の線形安定性の判定基準に用いたエネルギーの第2変分の解析と、幾何学的な考察から得られる曲率に関する方程式に対してエネルギー法的な手法を適用することで、定常曲線の非線形安定性に関する結果を得た。つまり、初期曲線が線形安定(定常曲線の周りでの線形化問題に対応する固有値問題の固有値がすべて負)な定常曲線にエネルギー的視点からみて近い場合に、その初期曲線を出発点とする平均曲率流方程式の解曲線が、この定常曲線に時間発展とともに漸近的に近づいていくことを数学的に解析した。今回適用した手法は、3重結節点をもつ3相境界運動が表面拡散流方程式によって記述される数学モデルの解析にも適用可能であると考えられるので、今後は表面拡散流方程式のモデルに関しても解析を進めていく予定である。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 室蘭工業大学, 2003年 - 2004年ジーゲル保型形式のスタンダードL関数の特殊値およびそれに関連する研究(1)次数が一般のジーゲル保型形式のスタンダードゼータ関数の特殊値と合同の関係について精密に定式化し、「重複度1」を仮定してそれを証明した.また、特に次数が2のとき、1変数保型形式fのSaito-Kurokawa liftと非Saito-Kurokawa liftの間の合同と、fの関数の特殊値の関係について精密な予想を立て、特別な場合にそれを証明した.また,その予想の成立する数値例を増やした.これらの研究成果は2004年10月の白馬、および2005年3月唐津での研究集会で発表した. (2)M,Nを平方因子を持たない自然数とし、ψ,xをそれぞれM,Nを導手とするディリクレ指標とするとき、Neben type ψの1変数保型形式のスタンダードゼータ関数を指標xで捻ったものについて特殊値を厳密に求める公式を得た。また、スタンダードL関数の特殊値の数値例を増やした.その際,ある場合にBlock-Kato予想の検証を行った. (3)2次指標をNeben typeとする奇素数レベルのアイゼンシュタイン級数の空間が種テータ級数(genus theta series)で張られることを示した.(Schulze-Pillot氏との共同研究) また,この副産物として「テータ級数でジーゲル尖点形式の空間が張られるか」といういわゆる基底問題をレベルが非平方数のときに証明した.(Boecherer氏,Schulze-Pillot氏との共同研究.)これらの研究成果は2004年9月立教大学でのシンポジウムで公表した. (4)非正則な場合も含むジーゲルアイゼンシュタイン級数のケッヒャー・マース級数の明示式を求めた. これを用いて,関数等式と解析接続について,1978年に荒川恒男氏が得た結果の別証明および精密化を行った.(伊吹山知義氏との共同研究.)この結果は2004年9月立教大学でのシンポジウムで公表した.
- 材料工学にあらわれる非線形現象の数学的解析競争的資金
- Mathematical Analysis of Nonlinear Phenomena競争的資金
研究シーズ
■ 研究シーズ- 表面拡散によって時間発展する界面の形状と特異性の解析シーズカテゴリ：自然科学一般 , ナノテク・材料研究キーワード：表面拡散, 界面の形態変化, 特異性研究の背景と目的：表面拡散は普遍的な原子の輸送機構であり、その形態変化は物理現象として複雑かつ多彩で、表面拡散による界面の形態変化の解析は研究対象として興味深いものです。本研究では表面拡散による界面の形態変化を表すモデル方程式の1つである表面拡散方程式を研究対象とし、表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の挙動や、その過程で現れるトポロジカルな変化をともなう特異性とその発生前後の挙動を数学的に明らかにします。研究内容：表面拡散方程式による時間大域的な曲線・曲面の挙動に関しては、定常解の安定性・分岐解析及び自己相似解の存在性・安定性解析を行い、十分な時間発展後の曲線・曲面の形状解析を行います。トポロジカルな変化をともなう特異性に関しては、表面拡散方程式に対する適切な近似方程式を求め、それを利用して時間発展する曲面に現れる特異性を許容するような表面拡散方程式に対する弱解理論を構築します。また、特異性が現れた後の曲面は滑らかさを回復することが期待されるため、それを表す正則性理論を構築します。さらに、時間発展する曲面に現れる特異性の形状を、相似変換を利用して解析し、その解析の過程で得られる性質をもとに特異性の数学的な特徴付けを行います。期待される効果や応用分野：本研究よって得られる表面拡散方程式に対する近似法は、トポロジカルな変化をともなう特異性を含んだ表面拡散による微細構造の形態変化を数値解析するためのアルゴリズムとしての利用が期待できます。さらに、定常解の安定性・分岐解析及び自己相似解の存在性・安定性解析によって得られる結果は、材料形成プロセスで観察される微細構造の形態変化の解析へのフィードバックが期待できます。