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佐治 健太郎大学院理学研究科 数学専攻教授
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■ 論文- Union Matematica Argentina, 2024年08月, Revista de la Unión Matemática Argentina研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2024年06月, Arnold Mathematical Journal研究論文（学術雑誌）
- 2023年, TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL, 75(1) (1), 131 - 141, 英語研究論文（学術雑誌）
- Abstract Consider an oriented curve $$\Gamma $$ in a domain D in the plane $${\varvec{R } }^2$$. Thinking of D as a piece of paper, one can make a curved folding in the Euclidean space $${\varvec{R } }^3$$. This can be expressed as the image of an “origami map” $$\Phi :D\rightarrow {\varvec{R } }^3$$ such that $$\Gamma $$ is the singular set of $$\Phi $$, the word “origami” coming from the Japanese term for paper folding. We call the singular set image $$C:=\Phi (\Gamma )$$ the crease of $$\Phi $$ and the singular set $$\Gamma $$ the crease pattern of $$\Phi $$. We are interested in the number of origami maps whose creases and crease patterns are C and $$\Gamma $$, respectively. Two such possibilities have been known. In the authors’ previous work, two other new possibilities and an explicit example with four such non-congruent distinct curved foldings were established. In this paper, we determine the possible values for the number N of congruence classes of curved foldings with the same crease and crease pattern. As a consequence, if C is a non-closed simple arc, then $$N=4$$ if and only if both $$\Gamma $$ and C do not admit any symmetries. On the other hand, when C is a closed curve, there are infinitely many distinct possibilities for curved foldings with the same crease and crease pattern, in general.Springer Science and Business Media LLC, 2022年12月, Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry, 63(4) (4), 723 - 761研究論文（学術雑誌）
- 2022年, JOURNAL OF SINGULARITIES, 25, 299 - 324, 英語研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2021年12月, Journal of Geometry, 112(3) (3)研究論文（学術雑誌）
- Springer, 2021年11月, Monatshefte fur Mathematik, 196(3) (3), 553 - 575, 英語研究論文（学術雑誌）
- Institute of Mathematics, University of Tsukuba, 2021年07月, Tsukuba Journal of Mathematics, 45(1) (1)研究論文（学術雑誌）
- 2021年, Beitrage zur Algebra und Geometrie研究論文（学術雑誌）
- Obtaining complete information about the shape of an object by looking at it from a single direction is impossible in general. In this paper, we theoretically study obtaining differential geometric information of an object from orthogonal projections in a number of directions. We discuss relations between (1) a space curve and the projected curves from several distinct directions, and (2) a surface and the apparent contours of projections from several distinct directions, in terms of differential geometry and singularity theory. In particular, formulae for recovering certain information on the original curves or surfaces from their projected images are given.World Scientific Pub Co Pte Lt, 2020年09月, International Journal of Mathematics for Industry, 2050004 - 2050004研究論文（学術雑誌）
- Worldwide Center of Mathematics, 2020年, Journal of Singularities, 22, 40 - 58, 英語研究論文（学術雑誌）
- 2020年, Mediterranean Journal of Mathematics, 17(2) (2), 20 pp., 英語, 国際誌, 国際共著していない[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Curved foldings with common creases and crease patternsConsider a curve $\Gamma$ in a domain $D$ in the plane $\boldsymbol R^2$. Thinking of $D$ as a piece of paper, one can make a curved folding $P$ in the Euclidean space $\boldsymbol R^3$. The singular set $C$ of $P$ as a space curve is called the crease of $P$ and the initially given plane curve $\Gamma$ is called the crease pattern of $P$. In this paper, we show that in general there are four distinct non-congruent curved foldings with a given pair consisting of a crease and crease pattern. Two of these possibilities were already known, but it seems that the other two possibilities (i.e. four possibilities in total) are presented here for the first time.2019年10月
- 2019年10月, Kodai Mathematical Journal, 42(3) (3), 496 - 525, 英語, 国際誌, 国際共著していない[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2019年, Anais da Academia Brasileira de Ciências, 91(3) (3), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2019年, São Paulo Journal of Mathematical Sciences, 13(2) (2), 663 - 677, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2019年, Hokkaido Math. J., 48, 281 - 308, 英語Characterizing singularities of a surface in Lie sphere geometry[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- A mixed type surface is a connected regular surface in a LorentzianElsevier BV, 2018年11月, Advances in Mathematics (2020), 365, 107036 - 107036
3-manifold with non-empty spacelike and timelike point sets. The induced metric
of a mixed type surface is a signature-changing metric, and their lightlike
points may be regarded as singular points of such metrics. In this paper, we
investigate the behavior of Gaussian curvature at a non-degenerate lightlike
point of a mixed type surface. To characterize the boundedness of Gaussian
curvature at a non-degenerate lightlike points, we introduce several
fundamental invariants along non-degenerate lightlike points, such as the
lightlike singular curvature and the lightlike normal curvature. Moreover,
using the results by Pelletier and Steller, we obtain the Gauss-Bonnet type
formula for mixed type surfaces with bounded Gaussian curvature.[査読有り]研究論文（学術雑誌） - Elsevier B.V., 2018年02月, Topology and its Applications, 234, 209 - 219, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2018年, Rev. Mat. Complut, 31(no.3) (no.3), 627 - 650, 英語On the geometry of folded cuspidal edges[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2018年, Adv. Stud. Pure Math., 78, 411 - 429, 英語On pairs of geometric foliations on a cuspidal edge. Singularities in generic geometry[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2018年, Internat. J. Math, 29(no.7) (no.7), 1850046,17 pp, 英語Normal form of the swallowtail and its applications[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2018年, Hokkaido Math. J, 47(no.2) (no.2), 245 - 267, 英語Fold singularities on spacelike CMC surfaces in Lorentz-Minkowski space[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- University of California, Berkeley, 2018年, Pacific Journal of Mathematics, 294(2) (2), 505 - 509, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Worldwide Center of Mathematics, 2017年, Journal of Singularities, 16, 73 - 100, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2017年01月, JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN, 69(1) (1), 417 - 457, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2016年04月, CANADIAN JOURNAL OF MATHEMATICS-JOURNAL CANADIEN DE MATHEMATIQUES, 68(2) (2), 445 - 462, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2016年, Journal of Gökova Geometry Topology, 10, 英語Extensions of Koenderink’s formula[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2016年, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B55, 203 - -222., 英語Criteria for Morin singularities into higher dimensions[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2016年, REAL AND COMPLEX SINGULARITIES, 675, 315 - 336, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2016年, GEOMETRY AND TOPOLOGY OF MANIFOLDS, 154, 247 - 281, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2015年06月, INTERNATIONAL JOURNAL OF MATHEMATICS, 26(6) (6), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2015年03月, INTERNATIONAL JOURNAL OF MATHEMATICS, 26(4) (4), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2015年, ANNALES POLONICI MATHEMATICI, 115(3) (3), 241 - 261, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2014年09月, SCIENCE CHINA-MATHEMATICS, 57(9) (9), 1841 - 1866, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Worldwide Center of Mathematics, 2014年, Journal of Singularities, 10, 264 - 270, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2012年04月, JOURNAL OF GEOMETRIC ANALYSIS, 22(2) (2), 383 - 409, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2011年10月, KODAI MATHEMATICAL JOURNAL, 34(3) (3), 390 - 409, 英語A(2)-SINGULARITIES OF HYPERSURFACES WITH NON-NEGATIVE SECTIONAL CURVATURE IN EUCLIDEAN SPACE[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2011年06月, DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS, 29(3) (3), 409 - 425, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Recently we discovered a new geometry on submanifolds in hyperbolic n-space which is called horospherical geometry. Unfortunately this geometry is not invariant under the hyperbolic motions (it is invariant under the canonical action of SO(n)), but it has quite interesting features. For example, the flatness in this geometry is a hyperbolic invariant and the total curvatures are topological invariants. In this paper, we investigate the horospherical flat surfaces (flat surfaces in the sense of horospherical geometry) in hyperbolic 3-space. Especially, we give a generic classification of singularities of such surfaces. As a consequence, we can say that such a class of surfaces has quite a rich geometric structure.一般社団法人 日本数学会, 2010年07月, Journal of Mathematical Society of Japan, 62(3) (3), 789 - 849, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年06月, COMPTES RENDUS MATHEMATIQUE, 348(11-12) (11-12), 665 - 668, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年, J. Singul., 2, 92 - 127, 英語The mandala of Legendrian dualities for pseudo-spheres in Lorentz-Minkowski space and ``flat'' spacelike surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We give useful criteria for S_1 singularities in the Mond classification table, and cuspidal S_k singularities. As applications, we give a simple proof of a result given by Mond and a characterization of cuspidal S_k singularities for the composition of a cuspidal edge and a fold map indicated by Arnol'd for the case k=1.2010年, J. Gökova Geom. Topol., 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We give a definition of `front bundles', which is an intrinsic formulation of wave fronts. In our definition of front bundles, the first fundamental forms and the third fundamental forms are considered as induced metrics of certain homomorphisms between vector bundles. They satisfy the completely same conditions, and so can reverse roles with each other, which is the meaning of the intrinsic duality in this paper. For a given wave front of a 2-manifold, there are two Gauss-Bonnet formulas. By exchanging the roles of the fundamental forms, we get two new additional Gauss-Bonnet formulas for ...2009年10月
- We give useful and simple criteria for determining $D_4^\pm$ singularities of wave fronts. As an application, we investigate behaviors of singular curvatures of cuspidal edges near $D_4^+$ singularities.2009年06月, Tohoku Math. J., 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2009年05月, MATHEMATICAL PROCEEDINGS OF THE CAMBRIDGE PHILOSOPHICAL SOCIETY, 146(3) (3), 731 - 746, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We shall give useful criteria of lips, beaks and swallowtail singularities of smooth map from the plane into the plane. As an application of criteria, we will discuss the singularities of Cauchy problem of single conservation law.2009年05月, Hiroshima Math. J., 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2009年04月, JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN, 61(2) (2), 559 - 578, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2009年, Ann. of Math., 169, 491 - 529
- The lightlike hypersurfaces in Lorentz-Minkowski space are of special interest in Relativity Theory. In particular, the singularities of these hypersurfaces provide good models for the Study of different horizon types. We introduce the notion of flatness for these hypersurfaces and study their singularities. The classification result asserts that a generic classification of flat lightlike hypersurfaces is quite different from that of generic lightlike hypersurfaces.Elsevier B.V., 2009年, Journal of Geometry and Physics, 59(11) (11), 1528 - 1546, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2008年08月, MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT, 259(4) (4), 827 - 848, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2008年08月, 数理解析研究所講究録, 1610, 114 - 120, 英語Koenderink type theorems for fronts
- Let $ M^2 $ be an oriented 2-manifold and $ f \colon M^2 \rightarrow R^3 $ a $ C^\infty $-map. A point $ p \in M^2 $ is called a $ \mathnormal{singular point} $ if $ f $ is not an immersion at $ p $. The map $ f $ is called a front (or $ \mathnormal{wave front} $), if there exists a unit $ C^\infty $-vector field $ \nu $ such that the image of each tangent vector $ df(X) (X \in TM^2) $ is perpendicular to $ \nu $, and the pair $ (f, ν) $ gives an immersion into $ R^3 \times S^2 $. In a previous paper, we gave an intrinsic formulation of wave fronts in $ R^3 $. In this paper, we investigate the behavior of cuspidal edges near corank-one singular points and establish Gauss-Bonnet-type formulas under the intrinsic formulation.九州大学, 2008年, Kyushu Journal of Mathematics, 62(1) (1), 259 - 280, 英語
- 2007年, PROCEEDINGS OF THE ROYAL SOCIETY OF EDINBURGH SECTION A-MATHEMATICS, 137, 415 - 430, 英語Singularities of smooth mappings with patterns[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2005年, Pacific J. Math., 221(2) (2), 303 - 351Singularities of flat fronts in hyperbolic space
- 2004年03月, JOURNAL OF KNOT THEORY AND ITS RAMIFICATIONS, 13(2) (2), 249 - 257, 英語Bifurcations of Voronoi diagrams and its application to braid theory[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2003年, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 133A, 1341 - 1359, 英語Singularities of line congruences[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- On the existence of four or more curved foldings with common creases and crease patternsConsider a curve $\Gamma$ in a domain $D$ in the plane $\boldsymbol{R}^2$. Thinking of $D$ as a piece of paper, one can make a curved folding in the Euclidean space $\boldsymbol{R}^3$. This can be expressed as the image of an `origami map' $\varphi:D\to \boldsymbol{R}^3$ such that $\Gamma$ is the singular set of $\varphi$, the word `origami' coming from the Japanese term for paper folding. We call the singular set image $C:=\varphi(\Gamma)$ the crease of $\varphi$ and the singular set $\Gamma$ the crease pattern of $\varphi$. We are interested in the number of origami maps whose creases and crease patterns are $C$ and $\Gamma$ respectively. Two such possibilities have been known. In the previous authors' work, two other new possibilities and an explicit example with four such non-congruent distinct curved foldings were established. In this paper, we show that the case of four mutually non-congruent curved foldings with the same crease and crease pattern occurs if and only if $\Gamma$ and $C$ do not admit any symmetries. Moreover, when $C$ is a closed curve, we show that there are infinitely many distinct possibilities for curved foldings with the same crease and crease pattern, in general.2019年11月17日
- Duality on generalized cuspidal edges preserving singular set images and first fundamental formsIn the second, fourth and fifth authors' previous work, a duality on generic2019年06月06日
real analytic cuspidal edges in the Euclidean 3-space $\boldsymbol R^3$
preserving their singular set images and first fundamental forms, was given. In
this paper, we show that this duality extends to generalized cuspidal edges in
$\boldsymbol R^3$, including cuspidal cross caps, and 5/2-cuspidal edges. When
the singular set image has no symmetries and does not lie in a plane, the dual
generalized cuspidal edge is not congruent to the original one. We construct
concrete examples of these duals. Moreover, we give several new geometric
insights on this duality.機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等 - 京都大学, 2016年04月, RIMS Kokyuroku Bessatsu, 55, 205 - 224, 英語Criteria for Morin singularities into higher dimensions (Theory of singularities of smooth mappings and around it)
- 2010年06月, Osaka Journal of Mathematics, 47(2) (2), 591 - 607, 英語The duality between singular points and inflection points on wave fronts
- 広島大学, 2002年07月, Hiroshima mathematical journal, 32(2) (2), 309 - 323, 英語Singularities of non-degenerate 2-ruled hypersurfaces in 4-space
■ 講演・口頭発表等
- 日本数学会トポロジー分科会, 2019年03月, 日本語, 東京工業大学, 国内会議特異点をもつ曲面とカスプ辺との接触口頭発表（一般）
- 幾何学的視点からの形状形成, 2018年09月, 英語, 九州大学伊都キャンパス・ウエスト1 号館, 国際会議Singularities of wave fronts and curvatures[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 15th edition of the International Workshop on Real and Complex Singularities, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computacão, 2018年07月, 英語, Universidade de São Paulo, Campus São Carlos, Brazil, 国際会議SO(3) normal forms and differential geometric invariants of singular surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 微分幾何学・微分式系・特異点論の応用, 2018年06月, 日本語, 広島工業大学広島校舎２０１号室, 国内会議与えられた発散する平均曲率をもつ特異点付き曲面口頭発表（一般）
- 幾何学と特異点２０１８, 2018年03月, 日本語, 東京学芸大学自然科学１号館, 国内会議与えられた非有界平均曲率をもつ特異点付き回転面口頭発表（一般）
- 第７回神戸特異点研究会, 2018年03月, 英語, 兵庫教育大学ハーバーランドキャンパス, 国際会議Singular surfaces of revolution with prescribed unbounded mean curvature口頭発表（一般）
- 特異点論とその応用, 2018年02月, 英語, 北海道大学学術交流会館, 理学部, 国際会議ベクトル場と関数の接触とその応用口頭発表（一般）
- Geometric and Algebraic Singularity Theory, 2017年09月, 英語, The Mathematical Research and Conference Center Bedlewo, Poland, 国際会議Normal form of swallowtail and its applications口頭発表（一般）
- 山口佳三先生退職記念研究集会, 2017年07月, 日本語, 神戸大学理学部, 国内会議ランフォイドカスプの不変量とその応用,口頭発表（一般）
- 微分幾何学と特異点論の応用, 2017年06月, 日本語, 岩手医科大学創立６０周年記念館, 国内会議スワローテイルのノーマルフォームとその応用口頭発表（一般）
- 微分幾何学と可積分系,, 2017年03月, 英語, 大阪市立大学, 大阪市立大学, 国際会議Geometric foliations of fronts[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 14th International Workshop on Real and Complex Singularities, 2016年07月, 英語, ICMC, Sao Carlos - SP, Brazil, 国際会議Invariants of cuspidal edges and flat surfaces口頭発表（一般）
- Encounter with Mathematics, 2016年03月, 日本語, 中央大学理工学部5号館,, 国内会議誰にでもできる特異点の判定法[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- ４次元トポロジー, 2015年11月, 日本語, 大阪市立大学理学部E棟4階E408, 国内会議ファイバー型モラン特異点の判定法とその応用口頭発表（一般）
- Geometric Singularity Theory, 2015年09月, 英語, Banach Center, Warsaw, 国際会議On pairs of geometric foliations on a cuspidal edge口頭発表（一般）
- トポロジーシンポジウム, 2015年08月, 日本語, 名古屋工業大学51号館1階5111, 国内会議可微分写像の特異点の判定法とその応用[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 「Transformations \& singularities」, 2014年09月, 英語, DA09 E10 Konferenzraum,Technische Universit{"a}t Wien, 国際会議Isotopy of map-germs and Morin singularities[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Transformations & singularities, 2014年09月, 英語, DA09 E10 Konferenzraum,Technische Universität Wien, 国際会議Isotopy of map-germs and Morin singularities[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 「The 2nd Franco-Japanese-Vietnamese symposium on singularities」, 2014年08月, 英語, 北海道大学理学部7-310, 国際会議Geometry of singularities of fronts[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- The 2nd Franco-Japanese-Vietnamese symposium on singularities, 2014年08月, 英語, 北海道大学理学部7-310, 国際会議Geometry of singularities of fronts[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 「13th International Workshopon Real and Complex Singularities」, 2014年07月, 英語, Society of Kobe University, Instituto de Ci{\^e}nciasMate{\'a}ticas e de Computa\c{c},{\~a}oUniversidade de S{\~a}o Paulo, Campus S{\~a}o Carlos., 国際会議Criteria and geometries of Morin singularities口頭発表（一般）
- 13th International Workshop on Real and Complex Singularities, 2014年07月, 英語, Society of Kobe University, Instituto de Ciências Mateáticas e de Computação Universidade de São Paulo, Campus São Carlos, 国際会議Criteria and geometries of Morin singularities口頭発表（一般）
- 「写像の特異点論及び関連する科学の諸問題 」, 2014年06月, 日本語, 主催者名１, 主催者名２, 都城工業高等専門学校多目的ホール, 国内会議異次元モラン特異点の判定法とその応用口頭発表（一般）
- 写像の特異点論及び関連する科学の諸問題, 2014年06月, 日本語, 主催者名１, 主催者名２, 都城工業高等専門学校多目的ホール, 国内会議異次元モラン特異点の判定法とその応用口頭発表（一般）
- 日本数学会春季年会トポロジー分科会, 2014年03月, 日本語, 日本数学会, 学習院大学目白キャンパス, 国内会議モラン特異点のイソトピー口頭発表（一般）
- 「日本数学会春季年会トポロジー分科会」, 2014年03月, 日本語, 明治大学 駿河台キャンパス リバティタワー, 国内会議カスプ辺の幾何的模様口頭発表（一般）
- 日本数学会春季年会トポロジー分科会, 2014年03月, 日本語, 明治大学 駿河台キャンパス リバティタワー, 国内会議カスプ辺の幾何的模様口頭発表（一般）
- The second Japanese-Spanish workshop on Differential Geometry, 2014年02月, 英語, 京都大学数理解析研究所, 京都大学数理解析研究所, 国内会議Geometric invariants of non-degenerate singular pointson wave fronts[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 大阪市立大学幾何学セミナー, 2013年12月, 日本語, 大阪市立大学数学研究所, 大阪市立大学数学研究所, 国内会議カスプ辺の幾何的不変量口頭発表（一般）
- Theory ofsingularities of smooth mappings and around it, 2013年11月, 英語, 京都大学数理解析研究所, 京都大学数理解析研究所, 国内会議Geometric invariants of cuspidal edges口頭発表（一般）
- Japanese-Brazilian Singularity Days, 2013年09月, 英語, Sao Paulo 大学, Sao Carlos キャンパス,Brazil, 国際会議Isotopy of Morin singularitie口頭発表（一般）
- Geometric Singularity Theory Polish-Japanese Singularity Theory Working Days, 2013年08月, 英語, Warsaw Center of Mathematics andComputer Science, Warsaw, Poland, 国際会議Geometric invariants of cuspidal edges口頭発表（一般）
- 位相幾何・微分幾何と特異点論の関わり, 2013年05月, 日本語, 弘前大学創立51周年記念会館 岩木ホール, 国内会議モラン写像芽のトポロジー口頭発表（一般）
- 「第7回札幌・福岡幾何学セミナー」, 2013年02月, 日本語, 北海道大学理学部, 国内会議可微分写像の特異点判定法とその応用I, II[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 「12th International Workshop on Real and Complex singularities」, 2012年07月, 英語, Sao Paulo 大学 ,Sao Carlos キャンパス,, 国際会議Singularities of surfaces swept by constant curvature curves口頭発表（一般）
- 「特異点論と幾何構造」, 2012年06月, 日本語, 長野市生涯学習センター, 国内会議双曲空間内の定曲率線織面とその特異点口頭発表（一般）
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2023年04月01日 - 2028年03月31日Global behavior of discrete surfaces via integrabilityThe purpose of this research is to develop the connection between complex analytic methods in surface theory with the integrable systems methods in transformation theory, and produce new results with this.
The former methods involve primarily the use of Weierstrass and DPW type representations to construct surfaces with particular curvature properties, the first example of this being minimal surfaces in Euclidean space, but including many other classes of surfaces in a variety of spaceforms. The latter methods include transformations of surfaces, such as Baecklund and Darboux transformations, together with permutability properties, in a Moebius geometric context. - 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(B)), 神戸大学, 2022年10月07日 - 2028年03月31日特異点論を用いた特異性の分野横断的融合波面の特異点の微分幾何学的研究に関して、標準形を与えることができたD4+および-特異点に対して係数の内在性を検討した。2次のジェットで定まる係数は両者ひとつだけであるが、どちらの特異点ともこの係数としての微分幾何的不変量が内在的であることを示した。これは第一基本形式の情報のみで表現できる座標を用いてこの係数を第一基本形式の係数のみを用いて書いた。この式は示唆的であり、今後の研究にも役立つと思われる。さらに、特異点曲線の角度を用いて幾何学的特徴づけを与えることができた。 また、回転面の平均曲率の研究を発展させて、螺旋曲面の研究を行った。螺旋曲面では曲率が１変数関数にならないため、与えられた曲率を持つ螺旋曲面の構成は容易でない。そのために特異点をもつ平面曲線を螺旋運動させてできる曲面の特異点と曲率の性質を検討した。特異点についてはそのような曲面は螺旋の平行移動方向に直交する平面の切り口に表れる曲線のサスペンション曲面となることがわかり、切り口の特異点を検討して、特異点をもつ曲線の曲率を用いて特異点の特徴づけを行った。 回転面のうち与えられた法曲率をもつものの構成問題の検討を行い、解くべき微分方程式はわかったが、積分する方法がまだ未解明であり、今後の研究課題として残っている。特異点をもつ場合のHeinzの定理の検討を行った。特異点をもつ場合は平均曲率はほとんどの場合発散するため、定理の定式化自体が自明でなく、これも今後の研究課題として残っている。 特異点をもつ場合のd'Ocagneの定理に関して検討を行った。ツバメの尾特異点等の特異点の標準形ができているものに関しては標準形の係数を不変量の代わりに使えるため、d'Ocagneの定理を検討しうることがわかった。さらに特異点を射影した際に得られる平面間の写像への理解も深まっており、これはすぐに着手可能な研究課題となった。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2022年04月01日 - 2026年03月31日特異点の特徴づけと曲面の特異性の研究
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 東京工業大学, 2021年04月01日 - 2026年03月31日特異点の微分幾何学およびその応用1. 一昨年度に取り組んだ藤森氏・川上氏・國分氏・Rossman氏・山田氏との「実解析写像の像の解析的拡張の不可能性」の判定に大きな進展があり，11月の数理解析研究所の研究集会において研究発表を行った．これに平行して，東工大の山田氏，横浜国大の本田氏との共同研究で，上記の理論が完成したという仮定のもとで，「de Sitter 時空内の平均曲率が１のカテノイド型の空間的曲面」の解析的な拡張後の曲面がすべて，これ以上の解析的拡張を持たないことを示した． 2. 埼玉大学の福井氏，東工大の卒業生である木下氏，中国のDonghe Pei氏とHaiou Yu氏らと，３次元Minkowski時空の一般化されたカスプ辺の研究について，昨年度に取り組めなかった次数が４の場合を研究し，論文にして投稿した． 3. 熊本大学の安藤直也氏との共同研究として，３次元時空の空間的曲面と時間的曲面それぞれについて，与えたれた滑らかな関数のヘッセ行列から誘導される行列の固有ベクトル場が曲率線となる座標系を見いだし，応用として，これらの時空の曲面の臍点の指数に関する新たな知見を論文にまとめ，年度内に国際誌に掲載された． 4. 研究分担者の山田氏・佐治氏との共同研究として昨年度に行った「３次元の定曲率空間のカスプ辺の写像芽」に関する研究の発展として，一般化されたツバメの尾を定義し，これらについても同様の結論を引き出すことに成功した． 5. 昨年度に引き続き，協力者の北川氏・榎本氏と，３次元球面内において「はめ込まれた平坦トーラスの直径予想」に取り組み，最終的な解決に「あと一歩」という状況に到達した．また，指導していた修士学生の高田君と平面三角形の諸心の他の空間形への変形について，筆者の実解析写像の研究の応用という位置づけで共同研究を行い，成果があがりつつある．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 東京工業大学, 2021年04月01日 - 2026年03月31日特異点の微分幾何学およびその応用１．分担者の山田氏，佐治氏，協力者の本田氏，直川氏との共同研究として，波面について知られるZakalyukinの補題をフロンタル特異点にまで拡張し応用を与えた．特に以前，筆者等が与えたツバメの尾の判定条件の証明が簡明になった．関連して，フロンタルではないが，曲面に現れる主要な特異点である「交叉帽子特異点」についても同様の研究を行い，Zakalyukin 型の定理を証明することに成功した．これらを２つの論文にまとめた． ２．3次元de Sitter空間の平均曲率1の空間的な曲面として，「不動点をもつ１係数等長変換群」で不変な曲面が複数存在し，G-catenoid とよばれる．分担者の山田氏・ラスマン氏，協力者の藤森氏，國分氏，川上氏，Yang氏らと，それらの多くが，非自明な解析的な拡張をもち，２次元Double-Cone manifoldの構造をもつことを示した．さらに，この事実から，拡張後のG-catenoidが，これ以上の解析的拡張をもたないことが示せた．この成果は論文として現在投稿中である． ３．ローレンツ・ミンコフスキー時空における超曲面は，すべての点で誘導計量が退化するとき「光的」であるという．分担者の山田氏，協力者の赤嶺氏，本田氏との共同研究により，光的な超曲面で対応する光的ベクトル場が完備となるものは，ユークリッド空間の超曲面の平行曲面族から構成されるものに限ることを示し，いくつかの重要な応用を与えた．この成果は，論文として現在投稿中である． ４．「三次元球面に，はめ込まれた平坦トーラスの直径が，球面の直径に一致するだろう」という予想に長年，筆者は取り組み成果を積んできたが，協力者の北川氏，榎本氏らと共同研究を行い，１つの新たな知見を得ることができた．これを基に今後も研究を継続していく所存である．
- 学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), 2018年04月 - 2022年03月, 研究代表者競争的資金
- 学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), 2015年04月 - 2020年03月競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 北海道大学, 2015年04月01日 - 2019年03月31日幾何学的特異点論の展開と応用対称性をもつ空間において自然に現れる方程式の幾何学的解を, 幾何構造に付随し必然的に現れる特異性に着目し, 幾何学的動機付けのもとで特異性を解析・分類すると共に, その幾何学的意味を明らかにし, 幾何学における新たな方法を提示・応用することを目的とした研究である．本研究によって，極めて一般的な設定で接線曲面の特異性のジェネリックな分類を完成させ，また，3次元ローレンツ多様体のナル曲線が作る接線曲面の特異性をエンゲル擬積構造，射影接触構造，3階常微分方程式の幾何学的理論と結び付け，特異性の分類を極めて一般的に達成した．また，(2,3,5)分布のG2双対性の一般的枠組みを解明することに成功した．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 挑戦的萌芽研究, 北海道大学, 2015年04月01日 - 2018年03月31日ロボット動力学における特異性判定と代数幾何的手法特異点判定法を用いた研究として，以下のテーマを扱った．（１）曲面の射影微分幾何における局所理論（ダルブー・ヴィルチンスキ）の復興とその応用を目指し，特異点論の手法による研究を進展させた．（２）幾何的代数と特異点論を用いて線織面や線叢などに現れる特異点の微分直線幾何を発展させ，応用幾何学における新しい可能性を示唆した．（３）射影空間内の曲線および曲面に係る古典的数え上げ幾何を整理して，ヴィジョン理論への特性類理論からの新しいアプローチを提案した．（４）判定法の基礎付けとして，判別集合（自由因子）の対数的微分加群とA-接空間の関係について考察した．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 北海道大学, 2014年04月01日 - 2018年03月31日非線形現象に現れる特異性の幾何学的研究当研究では、ラグランジュ部分多様体芽の間のラグランジュ同値と対応するグラフ型波面のある種の幾何学的同値関係が同じものである事を示した。その結果、ラグランジュ特異点論の様々な応用が見つかった。例えば、古典的微分幾何学への応用、双曲幾何学への応用、時空の幾何学への応用等の他に特異点を持つ曲面や写像の微分幾何学的研究への応用が含まれる。これらとは別に、この研究を通して、特異点論の量子力学への応用が新たに発見され、現在発展中である。
- 学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), 2014年04月 - 2018年03月, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 2010年04月01日 - 2015年03月31日特異点をもつ曲線，曲面と超曲面の幾何学筆者らが考え出した連接接束の概念の応用として，特異点をもつ３次元Eucli 空間に，合計４個のガウス・ボンネ型の公式を見いだし，多くの応用を与えた．また折り目特異点をもつ空間的極大曲面が，時間的な曲面への自然な解析的拡張をもつ，という事実に着目し，３重周期的なシュワルツＤ型の極大曲面について，実際にその解析的延長が埋め込みになることを示した．また，平均曲率関数が符号変化をしないはめ込まれた曲面のクラスにおいて３次元球面の中におけるクリフォード・トーラスの剛性を示した．このほか平面曲線の特異点についても変曲点に関する Bol の予想の簡単な証明を与えるなど，いくつかの新しい結果を得た．
- 科学研究費補助金／若手研究(B), 2011年04月 - 2015年03月, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(B), 岐阜大学, 2008年 - 2010年特異点を許容する曲面の微分幾何学的研究波面のカスプ的嘴、カスプ的唇、カスプ的蝶、臍特異点の判定法をすべて与えた。また、モンド特異点・高次元波面の基本的な特異点に対して具体的に計算できる判定法を与えた。 これらを応用し、疑球面内の曲面と球面内の曲面の双対性の枠組みの中で様々な特異点があらわれる条件と、曲面の微分幾何学的性質との関係について明らかにした。また、波面の概念を内在的に定式化し、同じ次元間の写像と波面を同時に扱い、様々な写像の位相的性質と特異点の数との関係を明らかにした。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(スタートアップ), 北海道大学, 2007年 - 2008年特異点理論とその曲面論、低次元トポロジーへの応用この研究により得られた結果は以下の通り。 1,平面間の写像に関して余次元1の特異点の認識問題を研究し、有用な判定法を得た。この判定法を応用して、微分方程式の特性曲面の特異性を調べ、特異点の分類や微分方程式の形作用素と呼ぶべき物を発見した。三次元空間内の曲面の平面への射影についても研究し、射影する方向と射影に現れる特異点との関係を明らかにした。 2,三次元空間内の波面のA型特異点の有用な判定法を作り、超幾何微分方程式のシュワルツ写像の特異点を佐々木武氏、吉田正章氏と共同で研究した。シュワルツ写像から作られる曲面には三個のスワローテイルが一つになる現象が起こるが、これがA5特異点であることを示した。 3,梅原雅顕氏と山田光太郎氏と共同で高次元空間内の波面のA型特異点の有用な判定法を作り、波面の大域的な不変量であるジグザグ数と曲率写像との関係を明らかにした。 4,双曲空間内の曲面に関して、泉屋周一氏と共同で擬球面内の曲面の双対曲面を様々な場合に研究した。特異点相互の関係や微分幾何学的特徴と特異点の性質を明らかにした。 5,光錐内の曲面に関して、泉屋氏、カルメン・ロメロフスター氏と共同で研究し、ジェネリックに現れる特異点の分類を得た。締活線を定義し、柱面的な光錐内の曲面を定義する方法が解った。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 特別研究員奨励費, 2004年 - 2006年特異点理論による幾何学の新展開この研究により得られた結果は以下の通り。 1,波面の幾何学に関して昨年、梅原雅顕氏と山田光太郎氏と共同で、波面の特異点に関して曲率を導入し、その性質を調べた。その後、ルジャンドル多様体への写像として定式化されていた波面の概念を内在的な概念に定式化し、ピークという非常に弱い条件の特異点のみを許した内在的な波面に対して、重要な特異曲線の上組・下組の概念を発見し、それによりガウス・ボンネの定理を証明した。また、高次元の波面のA型と呼ばれる特異点に関して、使いやすい判定法を証明した。 2,ユークリッド空間内の波面の曲率と、波面を平面へ射影したときに出来る特異点の像の曲率との関係を明らかにした。これにより平面に射影して出来る特異点の数を数えることによって波面の曲がり具合をあらわす大域的な不変量を計算できるようになる可能性が高い。 3,双曲空間内の曲面に関して、泉屋周一氏と高橋雅朋氏と共同でホロ球との近さを量る幾何学を研究した。そのような意味での曲率が消える曲面を定義し、それをユークリッド空間の線織面の研究と対比させて締活線の存在や特異点について論じた。また、波面のくちばし、くちびると呼ばれる特異点に関して使いやすい判定法を証明した。双曲空間と光錐内の曲面間の双対性を論じ、特異点を持つ点は対応しており、その性質が対になっていることを発見した。 4,波面のA4分岐と呼ばれる特異点に関して使いやすい判定法を証明した。同次元間の写像のモラン型と呼ばれる特異点に関して使いやすい判定法を証明した。また、他の特異点(モンド型)等に関しては判定法は得られなかったが、判定法を得るための足がかりをいくつか得た。これらの判定法は様々な場面で有用であり、今後はこれらの応用を考えていきたい。