SEARCH
検索詳細
山田 泰彦大学院理学研究科 数学専攻教授
研究活動情報
■ 受賞- 2017年 Journal of Physics A, Journal of Physics A Highlights of 2017 collection, パンルヴェ方程式の幾何学的研究グレートブリテン・北アイルランド連合王国(英国)学会誌・学術雑誌による顕彰
- We show the relation of the non-stationary difference equation proposed by one of the authors and the quantized discrete Painlevé VI equation. The five-dimensional Seiberg-Witten curve associated with the difference equation has a consistent four-dimensional limit. We also show that the original equation can be factorized as a coupled system for a pair of functions $\bigl(\mathcal{F}^{(1)},\mathcal{F}^{(2)}\bigr)$, which is a consequence of the identification of the Hamiltonian as a translation element in the extended affine Weyl group. We conjecture that the instanton partition function coming from the affine Laumon space provides a solution to the coupled system.SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application), 2023年11月, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 19, 47pp[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application), 2021年08月, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 17, pp.24, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application), 2020年07月, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 16, pp.16, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We study several variations of the q-Garnier system corresponding to various directions of discrete time evolutions. We also investigate a relation between the q-Garnier system and Suzuki's higher order q-Painlevé system using a duality of the q-KP system.Institute of Physics Publishing, 2018年03月, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 51(13) (13), 135204(19pp), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We give a simple form of the evolution equation and a scalar Lax pair for the q-Garnier system. Some reductions to the q-Painlevé equations and the autonomous case as a generalized QRT system are discussed. Using two kinds of Padé problems on differential grid and q-grid, we derive some special solutions of the q-Garnier system in terms of the q-Appell Lauricella function and the generalized q-hypergeometric function.KOBE UNIV, 2018年, Funkcialaj Ekvacioj, 61(1) (1), 109 - 133, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- In this paper a comprehensive review is given on the current status of achievements in the geometric aspects of the Painleve equations, with a particular emphasis on the discrete Painleve equations. The theory is controlled by the geometry of certain rational surfaces called the spaces of initial values, which are characterized by eight point configuration on. P-1 x P-1 and classified according to the degeneration of points. We give a systematic description of the equations and their various properties, such as affine Weyl group symmetries, hypergeometric solutions and Lax pairs under this framework, by using the language of Picard lattice and root systems. We also provide with a collection of basic data; equations, point configurations/root data, Weyl group representations, Lax pairs, and hypergeometric solutions of all possible cases.IOP PUBLISHING LTD, 2017年02月, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 50(7) (7), 073001 (164pp), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Considering a certain interpolation problem, we derive a series of elliptic difference isomonodromic systems together with their Lax forms. These systems give a multivariate extension of the elliptic Painleve equation.NATL ACAD SCI UKRAINE, INST MATH, 2017年, SYMMETRY INTEGRABILITY AND GEOMETRY-METHODS AND APPLICATIONS, 13(69) (69), 8pp, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- The rays of tropical genus one curves are constrained in a way that defines a bounded polygon. When we relax this constraint, the resulting curves do not close, giving rise to a system of spiraling polygons. The piecewise linear transformations that preserve the forms of those rays form tropical rational presentations of groups of affine Weyl type. We present a selection of spiraling polygons with three to eleven sides whose groups of piecewise linear transformations coincide with the Backlund transformations and the evolution equations for the ultradiscrete Painleve equations.NATL ACAD SCI UKRAINE, INST MATH, 2015年, SIGMA, 11(56) (56), 36 pages, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2014年12月, RIMS講究録別冊, B47, 087 - 095, 英語A simple expression for discrete Painlevé equations[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Based on the fact that the Painleve equations can be written as Hamiltonian systems with affine Weyl group symmetries, a canonical quantization of the Painlev, equations preserving such symmetries has been studied recently. On the other hand, since the Painleve equations can also be described as isomonodromic deformations of certain second-order linear differential equations, a quantization of such Lax formalism is also a natural problem. In this paper, we introduce a canonical quantization of Lax equations for the Painleve equations and study their symmetries. We also show that our quantum Lax equations are derived from Virasoro conformal field theory.SPRINGER BASEL AG, 2014年02月, Annales Henri Poincaré, 15(2) (2), 313 - 344, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- An interpolation problem related to the elliptic Painlevé equation is formulated and solved. A simple form of the elliptic Painlevé equation and the Lax pair are obtained. Explicit determinant formulae of special solutions are also given. © Springer-Verlag London 2013.Springer New York LLC, 2013年, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 40(40) (40), 463 - 482, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- For a finite-dimensional simple Lie algebra g, let U-q(+)(g) be the positive part of the quantized universal enveloping algebra, and A(q)(g) be the quantized algebra of functions. We show that the transition matrix of the PBW bases of U-q(+)(g) coincides with the intertwiner between the irreducible A(q)(g)-modules labeled by two different reduced expressions of the longest element of the Weyl group of g. This generalizes the earlier result by Sergeev on A(2) related to the tetrahedron equation and endows a new representation theoretical interpretation with the recent solution to the 3D reflection equation for C-2. Our proof is based on a realization of U-q(+)(g) in a quotient ring of A(q)(g).NATL ACAD SCI UKRAINE, INST MATH, 2013年, SYMMETRY INTEGRABILITY AND GEOMETRY-METHODS AND APPLICATIONS, 9(049) (049), 23pages, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Localization with a surface operator, irregular conformal blocks and open topological stringFollowing a recent paper by Alday and Tachikawa, we compute the instanton partition function in the presence of the surface operator by the localization formula on the moduli space. For SU(2) theories, we find an exact agreement with conformal field theory (CFT) correlation functions with a degenerate operator insertion, which enables us to work out the decoupling limit of the superconformal theory with four flavors to asymptotically free theories at the level of differential equations for CFT correlation functions (irregular conformal blocks). We also argue that the K theory (or five-dimensional) lift of these computations gives open topological string amplitudes on local Hirzebruch surface and its blow ups, which is regarded as a geometric engineering of the surface operator. By computing the amplitudes in both A and B models we collect convincing evidences of the agreement of the instanton partition function with surface operator and the partition function of open topological string.INT PRESS BOSTON, INC, 2012年06月, ADVANCES IN THEORETICAL AND MATHEMATICAL PHYSICS, 16(3) (3), 725 - 804, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- An explicit form of the Lax pair for the q-difference Painleve equation with affine Weyl group symmetry of type E8((1)) is obtained. Its degeneration to E-7((1)), E-6((1)), and D-5((1)) cases are also given.OXFORD UNIV PRESS, 2011年, Int. Math. Res. Notices, (17) (17), 3823 - 3838, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- GENERALIZED ENERGIES AND INTEGRABLE D-n((1)) CELLULAR AUTOMATONWe introduce generalized energies for a class of U-q(D-n((1))) crystals by using the piecewise linear functions that are building blocks of the combinatorial R. They include the conventional energy in the theory of affine crystals as a special case. It is shown that the generalized energies count the particles and anti-particles in a quadrant of the two dimensional lattice generated by time evolutions of an integrable D-n((1)) cellular automaton. Explicit formulas are conjectured for some of them in the form of ultradiscrete tau functions.WORLD SCIENTIFIC PUBL CO PTE LTD, 2011年, NEW TRENDS IN QUANTUM INTEGRABLE SYSTEMS, 221 - 242, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2011年01月, J. Phys. A, Math. Theor., Vol 44. 055403, 英語A quantum isomonodromy equation and its application to N=2 SU(N) gauge theories[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Five-dimensional AGT relation and the deformed ß-ensembleWe discuss an analog of the AGT relation in five dimensions. We define a q-deformation of the beta-ensemble which satisfies q-W(N) constraint. We also show a relation with the Nekrasov partition function of 5D SU(N) gauge theory with N(f) = 2N.PROGRESS THEORETICAL PHYSICS PUBLICATION OFFICE, 2010年08月, Prog. Theor. Phys., 124(2) (2), 227 - 262, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We study an analog of the AGT (Alday-Gaiotto-Tachikawa) relation in five dimensions. We conjecture that the instanton partition function of 5D N = 1 pure SU(2) gauge theory coincides with the inner product of the Gaiotto-like state in the deformed Virasoro algebra. In four-dimensional case, a relation between the Gaiotto construction and the theory of Braverman and Etingof is also discussed.SPRINGER, 2010年01月, JOURNAL OF HIGH ENERGY PHYSICS, Vol 01. 125(1) (1), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- A class of special solutions of Painlevé/Garnier systems arising as the Backlund or Schlesinger transformations of the Riccati solutions is known. In the past several years, the corresponding t-functions have been explicitly computed and expressed as certain specialization of the Schur functions with rectangle shape partitions. In this note, we will give a simple and direct derivation of these solutions. Our method is based on the Padé approximation and its intrinsic relation to iso-monodromy deformations.2009年04月, Funkc. Ecvak., 52(1) (1), 83 - 92, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- A Lax formalism for the elliptic Painleve equation is presented. The construction is based on the geometry of the curves on P(1) x P(1) and described in terms of the point configurations.NATL ACAD SCI UKRAINE, INST MATH, 2009年, SIGMA, 5, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We introduce ultradiscrete tau functions associated with rigged configurations for A They satisfy an ultradiscrete version of the Hirota bilinear equation and play a role analogous to a corner transfer matrix for the box-ball system. As an application, we establish a piecewise linear formula for the Kerov-Kirillov-Reshetikhin bijection in the combinatorial Bethe ansatz. They also lead to general N-soliton solutions of the box-ball system. (c) 2007 Elsevier B.V. All rights reserved.ELSEVIER SCIENCE BV, 2007年12月, NUCLEAR PHYSICS B, 786(3) (3), 207 - 266, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Res. Inst. Math. Sci., 2007年03月, Algebraic, analytic and geometric aspects of complex differential equations and their deformations. Painlevé hierarchies, RIMS Kokyuroku Bessatsu, B2, pp. 215-225, 73 - 88, 英語Symmetry and holomorphy of Painlevé type systems[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Motivated by the recent analysis of the E-10 sigma model for the study of M-theory, we study a one-dimensional sigmamodel associated with the hyperbolic Kac-Moody algebra G(2)(H) and its link to D = 5, N = 2 pure supergravity, which closely resembles in many ways D = 11 supergravity. The bosonic equations of motion and the Bianchi identity for D = 5 pure supergravity match the equations of the level l <= 3 truncation of the G(2)(H) sigma model up to higher level terms, just as they do for the D = 11 case. We also compute low level root and outer multiplicities in the A(3) decomposition, and indeed find singlets at l = 4k, k = 2, 3,... corresponding to the scaling of ERk+1 terms, although the missing singlet at l = 4 remains a puzzle.IOP PUBLISHING LTD, 2006年05月, CLASSICAL AND QUANTUM GRAVITY, 23(9) (9), 3181 - 3193, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- The Kerov-Kirillov-Reshetikhin (KKR) bijection is the crux in proving fermionic formulas. It is defined by a combinatorial algorithm on rigged configurations and highest paths. We reformulate the KKR bijection as a vertex operator by purely using combinatorial R in crystal base theory. The result is viewed as a nested Bethe ansatz at q = 0 as well as the direct and the inverse scattering (Gel'fand-Levitan) map in the associated soliton cellular automaton. (c) 2006 Elsevier B.V. All rights reserved.ELSEVIER SCIENCE BV, 2006年04月, NUCLEAR PHYSICS B, 740(3) (3), 299 - 327, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2006年, Séminaires et Congrès, Vol 14, pp. 169 - 198, 英語Point configurations, Cremona transformations and the elliptic difference Painlevé equation[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- HINDAWI PUBLISHING CORPORATION, 2005年05月, IMRN, vol 24, pp 1439～1463(24) (24), 1439 - 1463, 英語Construction of hypergeometric solutions to the q-Painlevé equations研究論文（学術雑誌）
- 京都大学, 2005年04月, 数理解析研究所講究録, 1422, 77 - 98, 日本語$q$-Painlevé方程式の超幾何解 (可積分系数理の展望と応用)
- Cubic pencils and Painlev´e HamiltoniansWe present a simple heuristic method to derive the Painleve differential equations from the corresponding geometry of rational surfacesKOBE UNIV, DEPT MATHEMATICS, 2005年04月, Funkcial. Ekvac., 48(1) (1), 147 - 160, 英語研究論文（学術雑誌）
- Box-ball system with reflecting endA soliton cellular automaton on a one dimensional semi-infinite lattice with a reflecting end is presented. It extends a box-ball system on an infinite lattice associated with the crystal base of U-q((s) over capl(n)). A commuting family of time evolutions are obtained by adapting the K matrices and the double row construction of transfer matrices in solvable lattice models to a crystal setting. Factorized scattering among the left and the right moving solitons and the boundary reflection rule are determined.NORBERT EULER, 2005年, JOURNAL OF NONLINEAR MATHEMATICAL PHYSICS, 12(4) (4), 475 - 507, 英語研究論文（学術雑誌）
- 京都大学, 2004年10月, 数理解析研究所講究録, 1400, 197 - 263, 日本語Cremona変換と楕円差分Painleve方程式 : 高次元的な枠組みへの試論 (可積分系理論とその周辺 : 課題と展望を探る)
- Tropical R is the birational map that intertwines products of geometric crystals and satisfies the Yang-Baxter equation. We show that the D-n((1)) tropical R introduced by the authors and its reduction to A(2n-1)((2)) and C-n((1)) are equivalent to a system of bilinear difference equations of Hirota type. Associated tropical vertex models admit solutions in terms of tau functions of the BKP and DKP hierarchies.SPRINGER, 2004年03月, COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS, 245(3) (3), 491 - 517, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- HINDAWI PUBLISHING CORPORATION, 2004年, INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES, (47) (47), 2497 - 2521, 英語Hypergeometric solutions to the q-painleve equations[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Math. Soc. Japan, 2004年, Advanced Studies in Pure Mathematics., 40, 371-442., 英語Tropical Robinson-Schensted-Knuth correspondence and birational Weyl group actions.[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- E-10(9) solution to the elliptic Painleve equationA tau function formalism for Sakai's elliptic Painleve equation is presented. This establishes the equivalence between-the two formulations by Sakai and by Ohta-Ramani-Grammaticos. We also give a simple geometric description of the elliptic Painleve equation as a non-autonomous deformation of the addition formula on elliptic curves. By using these formulations, we construct a particular solution of the elliptic Painleve equation expressed in terms of the elliptic hypergeometric function E-10(9).IOP PUBLISHING LTD, 2003年05月, JOURNAL OF PHYSICS A-MATHEMATICAL AND GENERAL, 36(17) (17), L263 - L272, 英語研究論文（学術雑誌）
- HINDAWI PUBLISHING CORPORATION, 2003年, INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES, 2565-2620(48) (48), 2565 - 2620, 英語Geometric crystal and tropical R for D-n((1))研究論文（学術雑誌）
- Difference L operators related to q-charactersWe introduce a factorized difference operator L(u) annihilated by the Frenkel-Reshetikhin screening operator for the quantum affine algebra U-q (C-n((1))). We identify the coefficients of L(u) with the fundamental q-characters, and establish a number of formulae for their higher analogues. They include Jacobi-Trudi and Weyl-type formulae, cancelling tableau sums, Casorati determinant solution to the T-system, and so forth. Analogous operators for the orthogonal series U-q(B-n((1))) and Uq(D-n((1))) are also presented.IOP PUBLISHING LTD, 2002年02月, JOURNAL OF PHYSICS A-MATHEMATICAL AND GENERAL, 35(6) (6), 1415 - 1435, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- A system of q-Painlev\'e type equations with multi-time variables t_1,...,t_M2001年12月
is obtained as a similarity reduction of the N-reduced q-KP hierarchy. This
system has affine Weyl group symmetry of type A^{(1)}_{M-1} \times
A^{(1)}_{N-1}. Its rational solutions are constructed in terms of q-Schur
functions. - We give a birational realization of affine Weyl group of type $A^{(1)}_{m-1}2001年06月
\times A^{(1)}_{n-1}$. We apply this representation to construct some discrete
integrable systems and discrete Painlev\'e equations. Our construction has a
combinatorial counterpart through the ultra-discretization procedure. - 社団法人日本数学会, 2001年01月, 数学, 53(1) (1), 62 - 75, 日本語
- Tableau representation for Macdonald's ninth variation of Schur functionsThe ninth variation of Schur functions associated with a general N x N matrix is studied. In particular, two types of tableau representations for them are constructed by using decomposition of matrices and properties of minor determinants.WORLD SCIENTIFIC PUBL CO PTE LTD, 2001年, PHYSICS AND COMBINATORICS, 180 - 195, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- Birational Weyl group action arising from a nilpotent Poisson algebraWe propose a general method to realize an arbitrary Weyl group of Kac-Moody type as a group of birational canonical transformations, by means of a nilpotent Poisson algebra.WORLD SCIENTIFIC PUBL CO PTE LTD, 2001年, PHYSICS AND COMBINATORICS 1999, 287 - 319, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- A q-difference analogue of the fourth Painlev\'e equation is proposed. Its2000年12月
symmetry structure and some particular solutions are investigated. - Determinant formulas for the general solutions of the Toda and discrete Toda1999年08月
equations are presented. Application to the $\tau$ functions for the Painlev\'e
equations is also discussed. - Symmetries in the fourth Painleve equation and Okamoto polynomialsThe fourth Painleve equation P-IV is known to have symmetry of the affine Weyl group of type A(2)((1)) with respect to the Backlund transformations. We introduce a new representation of P-IV, called the symmetric form, by taking the three fundamental invariant divisors as the dependent variables. A complete description of the symmetry of P-IV is given in terms of this representation. Through the symmetric form, it turns out that P-IV is obtained as a similarity reduction of the 3-reduced modified KP hierarchy. It is proved in particular that the special polynomials for rational solutions P-IV, called Okamoto polynomials, are expressible in terms of the 3-reduced Schur functions.NAGOYA UNIV, 1999年03月, NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL, 153, 53 - 86, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Let B(l) be the perfect crystal for the l-symmetric tensor representation of the quantum affine algebra U′q(s-fraktur signl-fraktur signn). For a partition μ = (μ1, . . . , μm), elements of the tensor product B(μ1) ⊗ . . . ⊗ B(μm) can be regarded as inhomogeneous paths. We establish a bijection between a certain large μ limit of this crystal and the crystal of an (generally reducible) integrable Uq(s-fraktur signl-fraktur signn)-module, which forms a large family depending on the inhomogeneity of μ kept in the limit. For the associated one-dimensional sums, relations with the Kostka-Foulkes polynomials are clarified, and new fermionic formulae are presented. By combining their limits with the bijection, we prove or conjecture several formulae for the string functions, branching functions, coset branching functions and spinon character formula of both vertex and RSOS types. © 1999 Elsevier Science B.V.Elsevier, 1998年12月, Nuclear Physics B, 536(3) (3), 575 - 616, 英語研究論文（学術雑誌）
- 約100年前にPainleveにより発見されたPainleve方程式は, 理論的にも応用面でも極めて重要なものであるが, その複雑さゆえに扱いはなかなか大変である. ところが, これらの方程式のもつ大きな対称性を積極的に用いると, その扱いが簡単化され, また, 方程式の一般化も可能となる. 可積分系との関係で重要なτ関数の理論と合わせて, 現在進行中の諸結果について簡潔に紹介したい.一般社団法人日本物理学会, 1998年12月, 日本物理學會誌, 53(12) (12), 926 - 928, 日本語
- Affine Weyl groups, discrete dynamical systems and Painleve equationsA new class of representations of affine Weyl groups on rational functions are constructed, in order to formulate discrete dynamical systems associated with affine root systems. As an application, some examples of difference and differential systems of Painleve type are discussed.SPRINGER VERLAG, 1998年12月, COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS, 199(2) (2), 281 - 295, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Umemura polynomials for the Painleve V equationWe give an explicit formula for the one-parameter family of special polynomials associated with the fifth Painleve equation (Pv) in terms of the Schur functions. Remarkably, our formulae coincide with those for the discrete Painleve II equation (dP(II)), where the roles of the independent variable and the parameter are exchanged. (C) 1998 Elsevier Science B.V.ELSEVIER SCIENCE BV, 1998年10月, PHYSICS LETTERS A, 247(1-2) (1-2), 65 - 69, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1997年, Selecta Math. New Ser., 3, 547 - 599, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- The quasi-particle structure of the higher spin XXZ model is studied. We obtained a new description of crystals associated with the level k integrable highest weight Uq(sl2) modules in terms of the creation operators at q = 0 (the crystalline spinon basis). The fermionic character formulas and the Yangian structure of those integrable modules naturally follow from this description. We have also derived the conjectural formulas for the multi quasi-particle states at q = 0.Springer New York, 1996年05月, Communications in Mathematical Physics, 178(1) (1), 179 - 200, 英語研究論文（学術雑誌）
- 1996年, Frontiers in quantum field theory, World Scientific, 367 - 371, 英語On spinon character formulas[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 1996年, Int. J. of Mod. Phys. A, 11(2) (2), 395 - 408, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We present an explicit formula of the Virasoro singular vectors in terms of Jack symmetric polynomials. The parameter t in the Virasoro central charge c=13-6(t+1/t) is just identified with the deformation parameter α of Jack symmetric polynomials Jγ(α). As a by-product, we obtain an integral representation of Jack symmetric polynomials indexed by the rectangular Young diagrams. © 1995 Springer-Verlag.Springer-Verlag, 1995年12月, Communications in Mathematical Physics, 174(2) (2), 447 - 455, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Mathematical Society of Japan, 1989年, Advanced Studies in Pure Mathematics, 19, 459
- 因子化されたラックス行列の対称性 (可積分系数理の深化と展開)We study bi-rational Weyl group actions on certain matrix Lax operators given in factorized form. These actions generalize the W(A[m-1] x A[n-1]) symmetry considered before by Kajiwara et.al. Our study is motivated by two recent developments: one is on discrete isomonodromic systems and the other is on the bi-rational Weyl group actions arising from the quiver mutations. We also discuss further generalizations using the results by G. Frieden on the geometric crystals.京都大学数理解析研究所, 2021年08月, 数理解析研究所講究録別冊, (87) (87), 135 - 147, 日本語
- 京都大学, 2013年12月, 数理解析研究所講究録, 1870, 106 - 114, 日本語量子座標環,PBW基底と3次元反射方程式 (組合せ論的表現論とその周辺)
- 京都大学, 2010年07月, 数理解析研究所講究録, 1700, 179 - 201, 日本語楕円差分Painleve方程式のLax形式 (可積分系数理とその応用)
- 一般社団法人日本物理学会, 2006年03月04日, 日本物理学会講演概要集, 61(1) (1), 253 - 253, 日本語27aXE-1 ベーテ仮説に関連した組合せ論的写像の新しい解釈(27aXE 古典・量子可積分系,領域11(統計力学,物性基礎論,応用数学,力学,流体物理))
- 京都大学, 2005年04月, 数理解析研究所講究録, 1429, 57 - 69, 日本語Tropical $R$ : 例と応用 (可積分系の組合せ論的側面)
- 京都大学, 2005年04月, 数理解析研究所講究録, 1422, 44 - 55, 日本語クリスタルから見た箱玉系 (可積分系数理の展望と応用)
- 神戸大学理学部数学科, 2005年, Rokko Lectures in Mathematics 18 Elliptic integrable systems, 18, 43 - 48, 英語記事・総説・解説・論説等（学術雑誌）
- 一般社団法人日本物理学会, 2003年08月15日, 日本物理学会講演概要集, 58(2) (2), 259 - 259, 日本語23aTQ-9 トロピカル R の双線形化
- 一般社団法人日本物理学会, 2003年08月15日, 日本物理学会講演概要集, 58(2) (2), 259 - 259, 日本語23aTQ-8 箱玉系の頂点作用素と分配関数 II
- 一般社団法人日本物理学会, 2003年03月06日, 日本物理学会講演概要集, 58(1) (1), 301 - 301, 日本語30pXA-1 箱玉系の頂点作用素と分配関数
- 京都大学, 2003年02月, 数理解析研究所講究録, 1302, 91 - 107, 日本語箱玉系の頂点作用素と分配関数 (可積分系研究の新展開 : 連続・離散・超離散)
- 一般社団法人日本物理学会, 2002年08月13日, 日本物理学会講演概要集, 57(2) (2), 275 - 275, 日本語8pTD-10 幾何クリスタルとトロピカルR(古典・量子可積分系,領域11)
- The Weyl group symmetry W(E-k) is studied from the points of view of the E-strings, Painleve equations and U-duality. We give a simple reformulation of the elliptic Painleve equation in such a way that the hidden symmetry W(E-10) is manifestly realized. This reformulation is based on the birational geometry of the del Pezzo surface and closely related to Seiberg-Witten curves describing the E-strings. The relation of the W(Ek) symmetry to the duality of M-theory on a torus is discussed on the level of string equations of motion. (C) 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved.ELSEVIER SCIENCE BV, 2002年06月, PHYSICS LETTERS B, 537(1-2) (1-2), 130 - 140, 英語
- The box ball system is studied in the crystal theory formulation. New conserved quantities and the phase shift of the soliton scattering are obtained by considering the energy function (or H function) in the combinatorial R matrix.WORLD SCIENTIFIC PUBL CO PTE LTD, 2000年04月, INTERNATIONAL JOURNAL OF MODERN PHYSICS A, 15(9) (9), 1379 - 1392, 英語
- 京都大学, 2000年02月, 数理解析研究所講究録, 1133, 117 - 123, 日本語Painleve型hierarchyのaffine Weyl群対称性(Painleve系, 超幾何系, 漸近解析)
- 一般社団法人日本物理学会, 1999年03月15日, 日本物理学会講演概要集, 54(1) (1), 773 - 773, 日本語30p-P-1 パンルベ方程式の対称性と離散可積分系
- 一般社団法人日本物理学会, 1998年09月05日, 日本物理学会講演概要集, 53(2) (2), 784 - 784, 日本語28a-B-2 Bethe状態の組み合わせ論的完全性について
- 一般社団法人日本物理学会, 1997年09月16日, 日本物理学会講演概要集, 52(2) (2), 761 - 761, 日本語6p-YJ-4 1次元状態和の計算
- 京都大学, 1996年08月, 数理解析研究所講究録, 962, 86 - 96, 日本語Kostka Polynomials and Crystals
- 京都大学, 1995年08月, 数理解析研究所講究録, 919, 68 - 78, 日本語Singular vectors of Virasoro algebra in terms of Jack symmetric polynomials(Various aspects of hypergeometric functions)
- 共著, Springer Briefs in Mathematical Physics, 2021年09月, ISBN: 9789811629983Padé Methods for Painlevé Equations
- 単著, 培風館, 2006年, 日本語「共形場理論入門」一般書・啓蒙書
- Elliptic Integrable Systems, Representation Theory and Hypergeometric Functions (MSJ-SI 2023), 2023年08月, 英語Quantum q-P_{VI}, q-KZ equation and q-AGT relation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Combinatorial Representation Theory and Connections with Related Fields, 2021年10月, 日本語Quantum representation of affine Weyl groups and mirror symmetry[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Web-seminar on Painlev\'e Equations and related topics, 2021年05月, 英語Quantum representation of Weyl group W(E^{(1)}_8)[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- SIDE-13, 2018年11月, 英語, Fukuoka Japan, 国際会議On q-Garnier systems[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- MS Seminar, 2018年09月, 英語, IPMU (Kashiwa Japan), 国際会議Geometry of isomonodromy deformations[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Asymptotic, Algebraic and Geometric Aspects of Integrable Systems, 2018年04月, 英語, TSIMF Sanya, China, 国際会議Comments on q-Garnier systems[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Partition Functions and Automorphic Forms, 2018年02月, 英語, JINR (Dubna, Russia), 国際会議Theory and applications of the elliptic Painlevé equation[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 駒場研究会「弦・場・素粒子」, 2017年11月, 日本語, 東京大学, 国内会議ゲージ理論とガルニエ系[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Exceptional and ubiquitous Painlevé equations for Physics, 2017年08月, 英語, LPT-ENS (Paris, France), 国際会議Geometric aspects of discrete Painlevé equations[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Exceptional Groups as Symmetries of Nature '17, 2017年07月, 日本語, KEK (つくば市), 国内会議パンルヴェ方程式の幾何と対称性[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Geometric Correspondences of Gauge Theories, 2017年07月, 英語, SISSA (Trieste, Italy), 国際会議Geometric formulation of discrete Painlevé equations[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 日本数学会無限可積分系セッション一般講, 2017年03月, 日本語, 首都大学, 国内会議q-差分ガルニエ系について, q-差分ガルニエ系からq 差分パンルヴェ系への簡約について口頭発表（一般）
- Workshop ”Elliptic Hypergeometric Functionsin Combinatorics, Integrable Systems and Physics”, 2017年03月, 英語, 大阪市立大学, 国際会議q-Garnier system and its autonomous limit[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop ”Progress in Quantum Field Theoryand String Theory II”, 2017年03月, 英語, 大阪市立大学, 国際会議Isomonodromy equations and gauge theories[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop ”Progress in Quantum FieldTheory and String Theory II”, 2017年03月, 英語, 大阪市立大学, 国際会議Dual Lax pairs for discrete isomonodromy equations[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop ”Geometry, Analysis and MathematicalPhysics”, 2017年02月, 英語, 京都大学, 国際会議A geometric formulation of the q-Garnier system[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop on Integrable Systems, 2016年12月, 英語, University of Sydney, 国際会議On the q-Garnier system[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop ”Conformal Field Theory, Isomonodromic tau-functions and Painlevé equations”, 2016年11月, 神戸大学On q-Garnier systems
- RIMS 研究集会「可積分系数理の現状と展望」, 2016年09月, 京都大学益川ホールq-ガルニエ系の種々のラックス形式について
- 日本数学会無限可積分系セッション一般講, 2016年03月, 筑波大学パデ法とq差分ガルニエ系
- 有理函数近似が繋ぐ可積分系・直交多項式・パンルヴェ方程式, 2016年01月, 一橋大学q-ガルニエ系と超楕円QRT系
- 超幾何研究会2016, 2016年01月, 神戸大学q-Garnier系とその自励化
- 琉球大数学科談話会, 2015年11月, 琉球大学モノドロミー保存変形と代数曲線
- Needs 2015, 2015年05月, Santa Margherita di Pula (Italy)Geometric introduction to discrete Painlevé equations
- The 9th IMACS Conference, Waves 2015, 2015年04月, Georgia, Athens (USA)Conserved curves for autonomous (ultra-)discrete Painlevé equations
- ミニワークショップ「数学・物理における可積分性の諸相」, 2015年03月, 大阪市立大学 理学部SW curve and its quantization
- Workshop "Curves, Moduli and Integrable Systems", 2015年02月, Tsuda CollegeQuantum curves associated with quantum Painlevé equations
- 大岡山談話会, 2014年12月, 東京工業大学モノドロミー保存変形の幾何学と量子化
- Integrable Systems in Newcastle, Department of Mathematics and Information Sciences, 2014年09月, Northumbria UniversityGeometry of Painlevé equations
- 学振二国間交流事業共同研究ロシアとの共同研究(RFBR)「ゲージ理論と弦理論の双対性による可積分性の統合と進展」, 2014年03月, KKRびわこホテルQuantum Lax pairs for Painlevé systems and their solutionｓ
- 「有理函数近似が繋ぐー可積分系・直交多項式・パンルヴェ方程式」, 2014年02月, 一橋大学, 一橋大学パデ補間によるパンルヴェ型方程式の構成
- Workshop on Integrable Systems, 2013年12月, University of Sydney, AustraliaLax pairs for quantum Painlevé equations and their solutions
- Around Sato's Theory on Soliton Equations, 2013年12月, 津田塾大学, 東京Box-ball system and soliton tau function
- 非線形離散可積分系の新展開, 2013年09月, 京都大学 数理解析研究所離散Painlevé方程式の簡単な表示
- 日本数学会無限可積分系セッション, 2013年09月, 愛媛大学Uq+ のPBW基底と量子座標環
- Follow-up meeting on Discrete Integrable Systems, 2013年07月, Newton InstituteThe q-Painlevé equations arising from the q-interpolation problems
- Elliptic Integrable Systems and Hypergeometric Functions, 2013年07月, Lorentz CenterA simple expression for the elliptic Painlevé equation and its Lax pair
- 立教大学数理物理セミナー, 2013年05月, 立教大学, 立教大学連続/離散パンルヴェ方程式のラックス形
- 8th IMACS International Conference, 2013年03月, Georgia Univ. AthensLax formalism for discrete Painlevé equations
- 日本数学会無限可積分系セッション, 2012年09月, 九州大学Symmetries of quantum Lax equations for Painlev\'e equations
- Infinite Analysis 11, 2011年07月, 東大数理, 東大数理An interpolation problem related with q-E^{(1)}_8 Painlevé equation
- 日本数学会無限可積分系セッション, 2011年03月, 日本数学会, 早稲田大学量子 Fuji-Suzuki-Tsuda 方程式とインスタントン分配関数
- -物理セミナー, 2011年02月, 静岡大理学部, 静岡大理学部Quantum isomonodromy deformation and N=2 gauge theory
- 弦理論セミナー, 2011年01月, 名大多元数理・KMI, 名大多元数理・KMIQuantum isomonodromy deformation and N=2 gauge theory
- 表現論セミナー, 2010年12月, 京大数理解析研究所, 京大数理解析研究所共形場理論, モノドロミー保存変形と AGT 予想
- 「量子可積分系の新展開」研究会, 2010年12月, 富士教育研修所AGT 予想が切り開いた新たな数学の世界
- 第4回日露ワーキングセミナー, 2010年11月, 大阪市立大梅田文化交流センターモノドロミー保存変形とN=2 ゲージ理論
- 神戸可積分系セミナー, 2010年11月, 神戸大, 神戸大A quantum isomonodromy equation and its application to gauge theories
- 「重力・幾何・素粒子」研究会, 2010年09月, 大阪市立大, 大阪市立大N=2ゲージ理論とモノドロミー保存変形
- 日本数学会無限可積分系セッション, 2010年09月, 名古屋大学, 名古屋大学E_n 型 q-Painlevé方程式のLax形式
- 「BC系とAGT予想の周辺」研究会, 2010年09月, 東大数理, 東大数理CFT, モノドロミー保存変形, Nekrasov関数
- 日本数学会無限可積分系セッション, 2010年03月, 日本数学会, 慶應大学q-Virasoro 代数とインスタントン分配関数
- 九州可積分系セミナー, 2009年12月, 九州大学, 九州大学Five-dimensional AGT conjecture and the deformed Virasoro algebra
- 可積分系数理とその応用, 2009年08月, はこだて未来大学, はこだて未来大学離散Painlevé方程式のLax形式
- Geometric aspects of discrete and ultra-discrete integrable systems, 2009年04月, Glasgow大学, Glasgow大学Lax formalism for the elliptic difference Painlevé equation
- 日本数学会無限可積分系セッション特別講演, 2009年03月, 日本数学会, 東京大学離散Painlevé方程式の幾何学的Lax形式
- テータ関数と可積分系, 2008年12月, 九州大学, 九州大学Geometry of elliptic Painlevé equation and its Lax formalism
- Elliptic integrable systems, isomonodromy problems, and hypergeometric functions, 2008年07月, MPIM, Bonn, Germany, MPIM, Bonn, GermanyGeometry of elliptic Painlevé equation and their hypergeometric solutions
- 日本数学会無限可積分系セッション一般講演, 2008年03月, 日本数学会, 近畿大学Padé近似 と Painlevé方程式の特殊解
- 早稲田大学代数解析セミナー, 2008年02月, 早稲田大学, 早稲田大学Padé近似 と Painlevé方程式
- 物理部会談話会, 2007年11月, 東京大学, 東京大学E型アメーバ図鑑 --その採取と観察--
- 研究会「トロピカル幾何学と関連分野」, 2007年09月, 北海道大学理学部, 北海道大学理学部Geometric formulation of discrete Painlevé equation and its tropical ana logue
- 阪大素粒子論研究室セミナー, 2007年07月, 大阪大学, 大阪大学理学部Knizhnik-Zamolodchikov, Schlesinger and reduction of ASDYM
- 日本数学会2005 年秋季総合分科会, 2005年09月, 日本数学会, 岡山大学可積分系と双有理変換
- 筑波大学(数学) 談話会, 2004年10月, 筑波大学(数学)平面代数曲線とPainleve 方程式
- Tropical Algebraic Geometry and Tropical Combinatorics., 2004年08月, 未記入, KyotoTropical affine Weyl group representation of type E.n.
- Combinatorial Aspect of Integrable Systems., 2004年07月, 未記入, KyotoTropical R: Examples and applications
■ 共同研究・競争的資金等の研究課題
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 2022年04月01日 - 2027年03月31日量子曲線に基づく量子パンルヴェ方程式の構築と応用
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 神戸学院大学, 2022年04月01日 - 2027年03月31日代数幾何と可積分系の融合 - モジュライ理論とパンルヴェ型方程式
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2018年04月 - 2023年03月
- 科学研究費補助金／基盤研究(S), 2017年04月 - 2022年03月
- 科学研究費補助金／基盤研究(A), 2017年04月 - 2022年03月
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2015年04月 - 2020年03月
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2014年04月 - 2019年03月
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 2012年04月01日 - 2018年03月31日多成分結合型可積分系に対する双線形化法による統一的研究可積分発展方程式系に対しては、様々な結合型方程式系への拡張が可能であり、それらの方程式系には多様な内部自由度をもつ解が存在する。これらの結合型方程式系とその解を体系的に研究することは、理論応用両面において重要である。本研究では、古典可積分系における双線形化法の理論に基づいて、新しい多成分結合型可積分系を構成する方法を与え、それらの方程式系に対する新しい内部自由度の相互作用を記述する解を導出して、その解の具体的な挙動を明らかにした。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 東北大学, 2014年04月01日 - 2017年03月31日量子差分モノドロミー保存系,量子タイヒミュラー理論,可解格子模型の類似の追求量子タイヒミュラー理論、量子差分モノドロミー保存系と可解格子模型の類似を追求することが目標であった。量子差分ガルニエ系の対称性やτ関数の量子化を幾何および格子模型の観点から研究すること、量子差分モノドロミー保存系における合流操作の量子化を可解格子模型のfusionを参考に定式化すること、量子タイヒミュラー理論としての理解を追求しつつ量子群から構成される可解格子模型にリーマン面の幾何の視点を導入すること、量子差分モノドロミー保存系のヤン・バクスター方程式の楕円関数解に対応する拡張を考えること、などを視野に入れている。これらについて基本的と考えられるラックス表示の幾何的理解に努め部分的成果を得た。
- 学術研究助成基金助成金／挑戦的萌芽研究, 2014年04月 - 2017年03月
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 2011年04月01日 - 2016年03月31日量子可積分系に関連する代数的・組合せ論的構造の研究研究代表者尾角はSchilling, 坂本らとともに、Ｄ型の最高ウェイトパスと艤装配位との間の全単射を最も一般的な場合に構成した。これによって、Ｘ＝Ｍ予想は組合せ論的手法でも解決された。分担者中西はクラスター代数の量子可積分系に関連する側面の研究を共同研究者とともに行い、T(Y)-systemの周期性、dilogarithm恒等式、完全WKB解析と変異の関係等を明らかにした。分担者国場は、研究開始時の目的には含まれていなかった３次元量子可積分系の研究を開始した。その後、尾角も含めた共同研究者とともに、量子座標環とPBW基底の関係、四面体方程式の２次元簡約、マルコフ過程への応用等の成果を上げた。
- 科学研究費補助金／基盤研究(S), 2012年06月 - 2016年03月
- 科学研究費補助金／基盤研究(A), 2012年04月 - 2016年03月
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 東京大学, 2012年04月01日 - 2015年03月31日可解模型と量子クラスター代数３次元可積分系の数理構造の解明にむけてその糸口となる成果を得た．(1)SP(4)の量子座標環の表現論を用いて，KulishとIsaevにより1997年に提唱された３次元反射方程式の初めての解を２種類構成し，組合せ論的極限，古典版，多項式表示などを得た．(2)量子群Uq(g)の正部分のPBW基底の遷移行列と，量子座標環の連係作用素の行列要素が一致することを全ての古典型gについて証明した．(3)四面体方程式の解としてR作用素とL作用素があるが，これらの混合積の２次元簡約から，量子超代数を含む一般化量子群に付随する量子R行列が行列積表示とともに従う事を証明した．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 2010年04月01日 - 2014年03月31日複体を用いたベクトル束の研究K3曲面やアーベル曲面の場合にある種の条件下で、Bridgeland stable objects のモジュライを射影的に構成し,その双有理的性質を調べた。またそれらの結果をアーベル曲面上のベクトル束の分類問題に応用した。このほかには代数曲面の場合にドナルドソン不変量に関するWitten予想を解いた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 挑戦的萌芽研究, 2011年 - 2013年表現論に関連する多項式の量子可積分系からのアプローチ量子可積分系から生まれたKRクリスタルのテンソル積の最高ウェイト元による母関数と艤装配位の母関数が等しいことを予想するX=M予想をD型の場合に解決することを目指した研究は８割程度まで進展した。例外型E6の場合の研究にも着手した。一方で、LLT多項式との関連についてはデータ収集にとどまった。 新しく四面体方程式と量子群の関連についての研究にも取り組んだ。３次元反射方程式の解の明示式、量子座標環のintertwinerの行列要素と量子展開環のPBW基底との関係、２次元簡約とアフィン量子群のq-振動子表現のテンソル積のintertwinerとの一致、等の研究を行った。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 東京大学, 2009年 - 2011年ベーテ仮説の組合せ論と差分構造多成分非対称排他過程のマルコフ行列のスペクトルの構造解明,量子可積分系の転送行列の満たすT-system, Y-systemの拡張,周期性予想とダイログ予想の解決,周期箱玉系の分配関数のフェルミ公式の導出,高階ランク版の解, D型結晶基底に付随する一般化エネルギーの理論, 3次元可解模型によるスピン表現の量子R行列の導出を行った.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 九州大学, 2007年 - 2010年パンルヴェ系の理論とその新展開パンルヴェ系と呼ばれる2階の可積分な非線形微分方程式・差分方程式の族の理論を,系のアフィンワイル群対称性や代数幾何学的構造を駆使して構築した.その枠組みを用いて,解として現れる超幾何函数の系列を全て決定するなど,解に関する詳細な研究成果を得た.また,パンルヴェ系の理論の高階・高次元化への一般化を行った.さらに得られた結果にもとづき,離散ソリトン系,離散微分幾何,可解カオス系,トロピカル幾何,複素力学系,ランダム行列などさまざまな分野へ理論を展開した.
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2009年
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 東京大学, 2007年 - 2008年超離散ソリトンと可解格子模型超離散ソリトン系の代表的なモデルである箱玉系について, 以下の結果を得た. 多状態かつ箱の容量が任意に非一様な無限系, 2状態で箱の容量が任意で一様な周期系のそれぞれについて, 初期値問題の解のアルゴリズムおよび明示式を得た, 特に明示式として, ソリトン理論や代数曲線の理論に登場するタウ関数やリーマンテータ関数の超離散類似を初めて導出した. この他, T-systemの周期性や多状態非対称排他過程のスペクトルについても結果を得た.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 大阪大学, 2006年 - 2007年可積分系と組合せ論的表現論研究期間内で主に次のような成果を得た。 1.[アフィン幾何クリスタルについて]柏原正樹氏、中島俊樹氏と共同で、非例外型アフィンリー環に付随して、幾何クリスタルを構成した。これらの幾何クリスタルで超離散極限をとると、従来より知られていた完全結晶の極限に一致することも確認した。さらに、C型を除く幾何クリスタルに対応して、トロピカルR写像というヤン・バクスター方程式を満たす双有理写像の具体形を求めた。 2.[非例外型の場合のKR加群の結晶基底の存在]アフィン量子群の有限次元表現のうち最高ウェイトがレベルO基本ウェイトの整数倍のもの(KR加群)は結晶基底をもつだろうという予想があったが、アフィンリー環の型が非例外型の場合にこの予想を解決した。また、海外共同研究者のSchilling氏は、B^<(1)>_n型、D^<(1)>_n型、および、A^<(2)>_<2n-1>型の場合に組合せ論的に定義されたクリスタルをもっていたが、このクリスタルと表現論的に存在が証明されたクリスタルが同型であることも示した。 3.[例外型アフィンリー環に付随する完全結晶の連接族の構成]柏原正樹氏、海外共同研究者のMisra氏、山田大輔氏と共同で、例外型アフィンリー環D^<(3)>_4の完全結晶のクリスタル構造をすべてのレベルで座標表示により具体的に表示した。
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2007年
- 科学研究費補助金／基盤研究(S), 2007年
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 九州大学, 2003年 - 2006年パンルヴェ型力学系の数理:階層構造・対称性・特殊解1.(A_2+A_1)^<(1)>型アフィンワイル群対称性を持つq-パンルヴェIV方程式の対称形式の理論を拡張し,q-KP階層を定式化した.また,その相似簡約によって(A_
+A_1)^<(1)>型アフィンワイル群対称性を持つ階層を,さらにその拡張として(A_ +A_ )^<(1)>型アフィンワイル群対称性を持つ離散力学系の階層を構成した. 2.2階のパンルヴェ系の頂点に位置する楕円パンルヴェ方程式とその拡張に対して理論的定式化を与えた.すなわち,時間発展とベックルント変換を射影空間上で一般の位置にある点の配置空間に対するクレモナ変換として定式化し,それをτ函数のレベルでテータ函数によってパラメータづけられた双有理変換として実現した.また,時間発展を動く平面3次曲線のペンシル上の加法として定式化し,それを用いてパンルヴェ微分方程式のハミルトニアンの幾何学的意味を明らかにした. 3.2の定式化を応用して楕円パンルヴェ方程式および2階の全てのq-パンルヴェ方程式に対して超幾何解を具体的に構成し,楕円超幾何函数_<10>E_9からq-エアリ函数に至る超幾何函数の退化図式を完成させた.いくつかの場合にはより複雑な超幾何解や有理解の行列式表示を与えた. 4.パンルヴェ第VI方程式の代数幾何学的定式化と代数曲面上の双有理写像のエルゴード理論をリーマン・ヒルベルト対応により結びつけ,パンルヴェ第VI方程式の非線形モノドロミーがほとんどすべてのループに沿ってカオス的であることを明らかにした. 5.パンルヴェ微分方程式の解のハンケル行列式表示の要素が補助線形問題の解の比の漸近展開係数として現れるという現象が普遍的であることを示し,それがKP階層の構造に起因するものであることを明らかにした. 6.以上の結果を踏まえ,超離散および離散戸田方程式に対しても新たな拡張や新しい解の構成を行った. - 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(S), 京都大学, 2002年 - 2006年無限可積分系の幾何学とモジュライ理論の新展開上野のグループは複素単純リー代数をゲージ対称性に持つ共形場理論(WSWN モデル)とアーベル的共形場理論を使ってモジュラー函手を構成し、このモジュラー函手から構成される位相的場の理論の性質を解明した。また、共形場理論で登場するモジュラー変換を記述するS行列が種数0のデータから完全に決まることを示した。さらに共形場理論の応用として4点付き球面の写像類群のNielsen-Thurston分類を考察し、この分類が正整数n≧2を固定したときに量子SU(n)表現から決定できることを示した。加藤文元のグループはこれまで提案されている中では一番広い意味での剛幾何学の建設を推進し、モジュライ空間の幾何学のもつ数論的側面を代数幾何学的に極限まで推し進めた。望月新一は代数曲線とその基本群との関係およびabc予想の定式化を巡って、代数曲線のモジュライ理論に関する今までとは異なる圏論的なアプローチを行い、函数体や代数体の被覆や因子の概念の圏論的に一般化して捉えることができるFrobenioidsの理論の構築、エタール・テータ函数の理論の構築など、今後のモジュライ理論のとるべき新しい方向を示唆する重要な研究を行った。さらに、モジュライ空間の代数幾何学的・数論幾何学的研究で多くの新しい成果が得られた。 無限可積分系の理論に関しては、高崎金久のグループは種々の可積分系を考察し、モジュライ空間がソリトン理論でも重要な役割をしていることを示した。また、パンルヴェ方程式とモジュライ空間との関係、無限次元代数と関係する統計モデルの考察、旗多様体の量子コホモロジーに関して種々の重要な成果が得られた。 本研究によってモジュライ空間が当初の予想以上に深い構造を持ち、また数学の基礎そのものとも深く関わり、その理解のためには、さらに数学的な精緻な道具を作り出していく必要があることが明らかになった。また、そのための準備やヒントの多くが本研究を通して明らかになった。
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2006年
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 東北大学, 2004年 - 2005年古典および量子可積分系とその離散化の研究主として場の理論に付随して現れる古典および量子可積分系とその離散化について,主に対称性の観点からの普遍的理解をめざし,新たな構造や視点を得ることが本研究課題の主目的であった.これに対し,各研究者は互いに議論しつつ以下のような研究を行った. 長谷川は,パンルヴェ方程式を含むアフィンワイル群対称性をもった方程式について,その量子差分化の研究を行った.とくに,梶原-野海-山田による差分パンルヴェ方程式の解空間へのアフィンワイル群作用の量子化について考察を深めるとともに,また神保と坂井による第6パンルヴェ方程式の差分化に対し,その量子化を構成した. 黒木は,モノドロミー保存変形の理論の量子化と差分化について一般的に考察した.梶原-野海-山田によるアフィンワイル群作用の長谷川による量子化について,dressing chainおよび幾何クリスタルとの関連の観点からの再構成を行うとともに,共形場理論のW代数による変形の立場からの考察を行なった. 山田は,山田は可解格子模型に特有の構造のトロピカル化について考察し,種々の組み合わせ的構造との対応を示すとともに,離散パンルヴェ系の超幾何解について,とくに楕円関数版の場合を研究した.また退化した場合も含めて,q-Painleve方程式の超幾何解を構成した.更に,そこで用いた方法を微分Painleve方程式のHamiltonianに応用した. 池田はソリトン系の簡約について考察し,その中でシューアのQ関数に関する組み合わせ的等式をフェルミオン・フォック空間を用いて示した.さらに同変コホモロジーを用いてシューアのQ-関数を捉えることに成功し,トーラス作用の固定点への局所化によって特殊多項式を研究するという視点が実り多いものであるということが再認識できた.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 京都大学, 2003年 - 2005年放物型コストカ多項式,えびら多様体,結晶基底とトロピカル組み合わせ論平成15年度〜17年度にわたり採択された本研究課題について私ならびに研究分担者は優れた数学雑誌に14の論文を発表した。また、研究集会を自ら組織するとともに研究遂行上必要な打ち合わせのため、国内外の研究集会に参加した。討論や共同研究は定期的に行った。 15年度の主なものとして、私とGuest氏(首都大学東京)が組織した国際ワークショップ「Quantum Cohomology」(於:京大数理研6月実施)があげられる。このワークショップにはこの分野での著名な数学者中島啓氏(京都大・理学研究科)、齋藤恭司氏(京都大・数理研)、B.Kim(S.Korea)、A.-L.Mare(Canada)、A.Buch(Sweden)をはじめ国内からもおよそ50人の参加者があった。 16年度の主なものとして、私と野海氏(神戸大)が組織した国際ワークショップ「Tropical algebraic geometry and tropical combinatorics」(於:京大数理研8月実施)があげられる。このワークショップには「トロピカル数学」において世界をリードする数学者、A.knutson(UC Berkeley, USA)、E.Miller(Univ.ofMinnesota, USA)、G.Mikhalkin(Toronto Univ., Canada)、D.Speyer((UC Berkeley, USA)、O.Viro(Uppsala Univ., Sweden)、柏原正樹(数理研)、尾角正人(阪大)、山田泰彦(神戸大)をはじめとして約60名の参加者があった。 両ワークショップともに盛況で日本におけるトロピカル数学と量子コホモロジーに対する関心を高めることとなった。 その他、中国南海大学での国際ワークショップ「Combinatorics, Special Functions and Physics」に招聘され、講演を行った。 本研究課題の主目標の一つである放物型コストカ多項式については一般化されたsaturation conjectureを証明した他、放物型コストカ多項式やSchur関数の新しい興味深い性質を示した。 Schubert Calculusと非可換微分法の関係についてはいくつかの重要な結果が、私と前野氏によって示された。特にある種の非可換代数多様体に対し平坦接続の生成する代数を記述することに成功しB_n型非可換Schubert多項式のMonk公式を証明した。
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2005年
- 科学研究費補助金／基盤研究(A), 2005年
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2005年
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2005年
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 2001年 - 2004年多変数非線形特殊関数の定義多様体と対称性当該研究期間に得た成果の主なものを記す。 1.当研究課題の直接的目標であった2変数ガルニエ系と退化ガルニエ系の定義多様体を構成した。各系を5の分割Jで表すと、系Jの定義多様体は2|J|+3個の座標近傍とそれらの間の貼り合せで記述される(|J|はJの長さ)。そして各座標近傍において、各系は正準変数の多項式をハミルトンニアンとする正準方程式で表される。また、A_4^<(1)>型の野海・山田系に対しても相空間の拡張を行った。 2.パンルヴェ方程式のベックルント変換を方程式の定義域を拡張するものと見なして、すべてのベックルント変換を用いて可能な限り定義域を拡張すると、それは岡本が構成した定義多様体(初期値空間を束ねたもの)に一致するということを示した。 3.各パンルヴェ方程式に対して定義されているベックルント変換群の間に、良く知られている合流操作(退化操作)が整合的に働くこと、すなわちパンルヴェ第VI方程式のベックルント変換群から、合流操作が定める簡単な形式的計算によって、他のパンルヴェ方程式のベックルント変換群が得られることを示した。 4.パンルヴェ第VI方程式の非線形モノドロミーをモジュラー群のアフィン3次曲面の4パラメータ族への保測的な作用として具体的に書き下した。 5.パンルヴェ第VI方程式の相空間(初期値空間)からモノドロミー表現のモジュライ空間へのリーマン・ヒルベルト対応についての詳しい結果を得た。著しいものは、ベックルント変換群の特徴付けである。すなわち、リーマン・ヒルベルト対応が、アフィン・ワイル群W(D_4^<(1)>)を被覆変換群とする被覆写像となっていることを示した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 京都大学, 2001年 - 2004年無限自由度の可積分系の数論幾何学的研究上野はJ.Andersenとの共同研究で,曲線が退化する際のアーベル的共形場理論(bc系の理論)を構成した.この結果は,非アーベル的共形場理論からモジュラー函手を構成する際に,アーベル的共形場理論の分数ベキとのテンソル積を取ることが必要となり,点付き代数曲線のモジュライ空間の境界でのテンソル積の挙動を調べるために使われた.さらに,このモジュラー函手から構成される3次元多様体の不変量は,リー代数がsl(2,C)の時はReshetikhin-Turaevが構成した不変量と一致することがほぼ明らかになった.証明の詳細な詰めは次年度の研究で行う予定である.また,上野はアーベル的共形場理論を代数曲面の場合に拡張するための予備的な考察を行った. 齋藤政彦はパンルヴェ方程式の初期値空間の研究を行い,初期値空間として登場する岡本・パンルヴェ対が逆にパンルヴェ方程式を決定することを,岡本・パンルヴェ対に変形理論を適用することによって示した.山田は多変数のパンルヴェ方程式を対称性の観点から研究した.また,神保は量子場の相関関数とq直交多項式との関連を考察した. また,齋藤秀司は非特異代数多様体のChow群に関するBloch-Beilinsonフィルター付けについて考察した.加藤はMumford曲線に関する研究を行い,Mumford曲線を被覆として持つ非アルキメデス的オービフォールドの特徴付けを与え,またモジュライ空間でのMumford曲線のなす軌跡の性質について新しい知見を得た.またMumfordによる擬射影平面の志村多様体としての具体的な構成を与えた.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2000年 - 2002年標準束が自明な代数多様体上のベクトル束の研究この研究により得られた結果は以下の通り。 研究代表者の吉岡康太は安定ベクトル束が存在するための必要十分条件を求め,またモジュライ空間の連結性を示した.モジュライ空間がコンパクトである場合には,そのアルバネーゼ写像を決定し,またそのファイバーが既約超ケーラー多様体になることを示した.Beauvilleは既約超ケーラー多様体にたいして複素解析的(双有理的)不変量である周期を導入しているが,吉岡はさらにアルバネーゼ写像のファイバーとしてあらわれる既約超ケーラー多様体に対して,その周期を向井格子を使って書き下した.またその変形同値類が多様体の次元にしかよらないという著しい結果を示した.これによりモジュライ空間の位相構造に関する研究は階数が1の場合に帰着された.方法はフーリエ・向井変換とK3曲面の複素構造の変形理論を使ってなされたが,その過程でフーリエ・向井変換と安定性の間の関係について研究した.さらに楕円曲面上の安定層のモジュライ空間、K3曲面上の2次元のモジュライ空間、Gromov-Witten不変量の研究等についての研究を行ないいくつかの成果を得た。 また研究分担者の斎藤政彦は3次元Calabi-Yau多様体の一般種数におけるGromov-Witten不変量(一般には有理数)の母関数が適当な変数変換により整数不変量(BPS状態数)を用いて得られるというGopakumar-Vafa予想について研究した.特にβ次元Calabi-Yau多様体の純次元1の連接層のモジュライ空間を用いてBPS不変量の数学的な定義の候補を与え,特殊な場合ではあるが現在までのGromov-Witten不変量の具体的な計算と,その定義が整合的であることを確かめた. 研究分担者の山田泰彦は有理楕円曲面の上のD-braneに関する興味深い研究をした.モノドロミー群,Mordell-Weil格子,アフィンワイル群等の数学的に美しい構造が物理の観点から新たに見直され,今後も有理楕円曲面上のベクトル束のモジュライとの関係等発展が期待される. 齋藤や山田は対称性や幾何の観点からパンルベ方程式を研究しとく齊藤はBacklund変換が双有理幾何学に現われるフロップであることを示し、また有理曲面の変形理論がPainleve方程式を導く事を示した.これはパンルベ方程式のRiccati解の分類への応用がある。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 2000年 - 2002年超弦理論とモジュライ空間の幾何学本科学研究費の研究期間において,主に下記のテーマについて研究を行い,主に次の結果をえた. 1.カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウイッテン不変量とBPS不変量・Gopakumar-Vafa予想:細野・齋藤・高橋はCalabi-Yau 3-foldの純次元1の連接層のモジュライ空間を用いてBPS不変量の数学的な定義の候補を与え,Gopakumar-Vafa予想を用いて特殊な場合ではあるが現在までのGromov-Witten不変量の具体的な計算と,その定義が整合的であることを確かめた。 2.ホモロジカルミラー対称性と導来圏の幾何学:細野は,K3曲面の場合のホモロジー論的ミラー対称性を調べた.深谷は,ホモロジカルミラー対称性をFloerホモロジーとLagrangian部分多様体の立場から研究し,特にA_∞カテゴリーのホモロジカル代数についての統一的な研究を行った. 3.パンルベ方程式の初期値空間の代数幾何学・岡本・パンルベ対の変形理論:齋藤は,パンルベ方程式の初期値空間とそのBacklund変換を,高次元代数幾何学の立場から見直し,Backlund変換等の種種の性質を幾何学的に書き直す事を行った.初期値空間の一般化である岡本・パンルベ対の概念を導入して,その分類を行い,変形理論を援用し微分方程式を変形理論の言葉で完全に書き直せる事をしめし,またパンルベ系がハミルトニアン系で書けることの内在的証明をえた. 4.Painleve方程式とその拡張についてのLie理論的研究およびその離散化:研究分担者の野海と山田はPainleve方程式の対称性(Backlund変換)を見直し,アフィンWeyl群・アフィンLie環の観点からPainleve型非線形方程式に新しい視座を与えた.さらに研究は進展し,パンルベVI型方程式の新しいLax形式系の発見高野恭一との共同研究により,初期値空間の局所座標系とアファインワイル群との関係を研究した. 5.ベクトル束のモジュライ空間とその対称性:吉岡は代数曲面の上のベクトル束のモジュライ空間について研究を行い多くの成果をえた. 6.不変式論の新たな展開:向井は永田の反例について,新しい解釈と構成を行った.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 1999年 - 2002年パンルベ方程式と可積分系野海と山田は,アフィンワイル群の観点からパンルベ(型)微分方程式の系統的な一般化を与えた.この成果は野海の著書にまとめられ,この方面の研究を多いに活性化した.パンルベ6型方程式についても,新しいラックス形式を発見した.また,パンルベ方程式に現れるアフィンワイル群の双有理表現が,ルート系に関して普遍的構造をもっていることを示し,ガウス分解に基づくリー環論的な背景も明らかにした.さらに,得られたアフィンワイル群の双有理表現は,タウ関数にまで持ち上げが可能であり,タウ関数について,アフィンリー環の表現行列としての意味と,差分系的パンルペ性(正則性)が確認された.また,この構成から,与えられた表現がドリンフェルト・ソコロフ方程式系の相似簡約により得られるパンルベ型方程式の対称性を与えていることも明らかになった.一方で,アフィンワイル群を対称性にもつ離散可積分系について,梶原・野海・山田はq-パンルベ4型方程式とその特殊解を考察した.さらに,その拡張として,W(A^<(1)>_
×A^<(1)>_ )のアフィンワイル群の双有理表現を構成し,離散パンルベ方程式との関連を考察した.得られたアフィンワイル群の双有理表現は,トロピカル(=全正値)な表現であり,超離散化により超離散ソリトン系および可解格子模型(のクリスタル極限)と直接つながるものであることが判明した.野海・山田は,こうした表現の組み合わせ論的応用を示した.関連して,q-KP方程式とその多項式解に関する1つの定式化を与えた.増田等は(q-)パンルベ5,6型方程式の特殊解の行列式表示を与えた.高野・野海・山田は初期値空間の局所座標系とアファインワイル群との関係を示し,齋藤はパンルベ方程式の初期値空間の代数幾何学的特徴付けを与えた.以上の様に,本研究課題は,ほぼ全ての研究目標について満足すべき成果を得た. - 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 1998年 - 2000年パンルヴェ方程式の大域解析本研究における研究実績は多様であるが、研究課題と直接関係するものを3項目にまとめる。 1.パンルヴェ方程式の対称性:本研究課題のもとでこの期間にもっとも進展した分野である。岡本和夫が80年代前半に見付けたパンルヴェ方程式のBacklund変換群(アフィンWeyl群の実現)に関する見通しの良い理論が構築された。この理論は単に岡本の結果を整理しただけのものではなく、パンルヴェ方程式の特殊関数論に有効な手段をも与えた。例えば、このBacklund変換がτ関数にまで自然に持ち上がるので、パンルヴェ方程式に付随して登場する種々の特殊多項式の生成が容易に行えるようになり、また変換自体は複雑な有理変換であるが必要な変換を求めることは極めて容易となった。この理論はいわゆる離散パンルヴェ方程式にも有効で、その方面の研究が現在進行中である。 2.初期値空間:パンルヴェ方程式、高階パンルヴェ方程式あるいは多変数パンルヴェ系(ガルニエ系)の解全体を幾何的に捉える初期値空間の研究に進展があった。もともとのパンルヴェ方程式(第1パンルヴェ方程式を除く)の初期値空間がBacklund変換群を用いて記述されることが分かった。これより直ちにBacklund変換でうつるパンルヴェ方程式の初期値空間はすべて同型という事実が得られた。高階パンルヴェ方程式、2変数退化ガルニエ系の初期値空間(と確信されるもの)の構成も進んだ。これがどのような意義をもつものかの検討は今後の課題である。 3.パンルヴェ方程式の解析:完全WKB解析によるパンルヴェ方程式の研究が進展した。もともとは線形方程式に対して適用されてきたWKB解析を、外から大きなパラメータを導入されたパンルヴェ方程式に適用したものである。接続関係式における主要項が見事に求められた。この解析では第1パンルヴェ方程式が最もgenericなものであり、第2以上の解析にはバーコフの標準形への変換定理を用いる。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 九州大学, 1997年 - 1999年特殊函数の現代的発展-表現論と複素積分からのアプローチGaussの超幾何函数の良い多変数化に向けて、ルート系に付随する超幾何函数と複素積分の研究の二つのながれを統一的に把握するのが本研究の目的であった.この研究を遂行するための、より具体的なテーマは1.de Rham理論の研究:おもにA型の球函数の積分表示としてあらわれるSelberg型積分に付随するホモロジー、コホモロジーの代数幾何・複素解析幾何・位相幾何学研究、2.Hecke環等の代数系の表現と複素積分の関係:上述のホモロジー、コホモロジーにおけるAffine Hecke環や量子群の表現の実現などの研究、3.Painleve微分方程式への応用:Painleve方程式にあらわれる興味深い特殊多項式の本性を定める、4.数理物理への応用:Calogero系などの可積分系における解の積分表示の研究や可解格子模型、2次元共形場理論における相関函数の解析等. これらに関し、研究代表者は主に1および2で、分担者花村は2で、分担者野海及び山田は3で成果をあげた.協力者松井卓には4における相関関数の研究、協力者落合啓之には2における表現論的側面および4におけるCalogero系の研究、協力者若山正人には2の表現論的側面の支援、協力者加藤文元には1のde Rham理論における数論への応用という点で、本研究推進に貢献した. 次期の研究計画に繋がるものとしては、積分に付随するサイクルの研究を開始した.研究計画調書作成時からの長い懸案がようやく着手出来るようになったということは、ここに記しておくべき事であろう. いずれにせよ、3年間に得られた成果という点では合格点が得られたものと自負している(各人の論文リストを見れば明らかなように、本研究の成果は上質な雑誌に且つ多数掲載されている).これらを有効に生かして、今後の研究をさらに推進した.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 1997年 - 1999年代数多様体の周期と一般超幾何函数の研究平成11年度においては、研究代表者は引続きミラー対称性予想の観点からカラビ-ヤウ多様体のグロモフ-ウイッテン理論におけるA-モデルおよび、B-モデルの計算および比較を行った.とくに有理楕円曲面がカラビ-ヤウ多様体の中に入っている時にその中に含まれる高い極数の曲線の数え上げに関して、細野忍、高橋 篤と共同でプレポテンシャルの満たすべき正則異常方程式を定式化し、1切断ではあるが一般極数の場合にプレポテンシャルの一般系を保形形式で書ける事を確かめてその正則異常方程式との整合性を確かめた。平成11年度は、California大学のGiventahl教授を京大数理研に招いて、レビューおよび研究討論を行った。研究分担者の野海正俊と山田泰彦はPainleve方程式の対称性(Backlund変換)を見直し,アフィンWeyl群・アフィンLie環の観点からPainleve型非線形方程式に新しい視座を与えた.研究分担者の吉岡康太はK3曲面の上のベクトル束のモジュライ空間が多くの場合に既約超ケーラー多様体になることを示した.またその周期を計算した.研究分担者の佐々木 武は,印付き3次曲面のモジュライ空間上定義された微分方程式の解を用いた一意化が複素単位球になる事を,吉田 正章と示した.また関連して,E6対称性を持つ、4変数の微分方程式系について解析を行った.以上の結果は下記の学術論文に発表されたことを付記しておく。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 1997年 - 1998年周期の微分方程式と超弦理論・超対称ゲージ理論本研究は、各研究分担者間で相互に情報を交換しつつ互いに独立に研究を進めるという、独特の研究形態をとった。以下に示すように、各分担者の研究は、密接に関係しながら互いに刺激を与え合うことにより、実施計画に示した目標の達成はもちろん、それ以上の成果を得ることができた。 1 山田は、二次元量子重力理論の可積分構造と特異点理論の関係を追求した。この研究の結果、KP方程式、Drinfeld-Sokolov方程式、Painleve方程式などとの本質的な関わりが見出され、Painleve方程式の理解、特に、その対称性の起源について大きな成果を得ることが出来た。この結果は、単にPainleve方程式に留まらず、数理物理の様々なテーマとの関連において、今後の発展が期待されている。 2 梁は、N=2超対称ゲージ理論を記述するSeiberg-Witten曲線やその一般化である幾何学を系統的かつ具体的に解析した。この研究により、特異点理論との深い関係が明らかになり、特に、例外型リー群をゲージ群にもつ場合の、対応する幾何構造の解明に成功した。 3 細野は、ミラー対称性の研究をさらに発展させた。特に、K3ならびに楕円ファイバーをもつカラビ・ヤオ多様体のGromov-Witten不変量の計算において、重要な成果をあげた。高い種数の曲線の数え上げの問題についても、理論的、計算的な面で着実な進展が得られている。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 九州大学, 1996年 - 1998年超幾何関数の多角的研究超幾何関数を巡る数学は以下に述べるように様々な研究の方向があり、分野ではひどく離れているように見えても、思いがけない関連が発見されて進化している。 Eulerにより発見された超幾何積分は今や多くの人により現代的言葉で再定式化されている:即ち捻れ表路地と捻れ裏路地の双対内積として。期待される交差理論は、表路地では喜多と吉田により、裏路地ではChoと松本により確立された。更なる発展が進行中である、特に松本は真島・岩崎の協力を得て合流型の場合の完成を目指している。表路地と裏路地の交差理論の整合性は自動的に超幾何関数(周期積分)に関する2次関係式を生産するのであるが、それらは古典的なRiemannの等式の捻れ版と考えることが出来る。花村と吉田は捻れHodge理論を通してRiemannの不等式の捻れ版を得た。それらは超幾何関数のあたらしい2次不等式を生産する。 配置空間の一意化:X(k,n)によってk-1次元射影空間内のn点配置の成す配置空間を表すことにする。幾つかの配置空間は対称空間の離散群による商という表示を持つ;配置空間X(2,4)を上半平面Hなる対称空間の楕円母数主合同部分群Γ(2)による商として表示するX(2,4)〓H/Γ(2)を嚆矢とする。松本・佐々木・吉田は(3,6)型超幾何関数を通じて配置空間X(3,6)のIV型古典対称領域による一意化を構成した: X(3,6)〓{z∈M_2(C)|(z-z^*)/2i>0}/Γ, ここでΓは数論的鏡映群である。射影平面上にある6点が2次曲線に乗っている特殊な場合が丁度井草が60年代におこなった種数2のSiegel上半空間の研究を再現している。 金子はD.Zagierと超特異楕円曲線と超幾何関数を繋ぐ保型値形式を発見した。金子はj(r)のFourier係数にかんする新しい数論的公式を得た。 加藤は果敢にも代数多様体でDrinfeld対称空間でp-進一意化される例を構成し、p-進解析的一意化微分方程式を構成しようとしている。加藤はすでに石田と新しい射影平面もどきを発見しp-進及び複素解析的に研究している。果してp-進超幾何関数(微分方程式)でp-進一意化される例が存在するのかという興味深い問題に挑戦している。 渡辺はPainlve関数の岡本変換を高野の相空間の構成を利用した新しい見通しのいい方法で導き出した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 京都大学, 1996年 - 1998年対称性の数理可解格子模型にたいする対称性からのアプローチは本研究の中心的課題であるが、これについては従来解明されていなかった楕円的な模型について、量子群のツイストによる準ホップ代数の表現論を用いて頂点作用素の自由場表示が得られた。 (白石・小竹) さらに、三角関数的な極限にあたる|q|=1の場合の差分KZ方程式について解の積分表示が得られた。 (三輪・今野) 長谷川はルイセナールの差分作用素を可解格子模型の連絡作用素を用いて構成できることを示した。結晶基底の理論は、可解格子模型と組合せ論をつなぐ鍵となるものであるが、これに関しては、非一様パスが、テンソル積表現の結晶基底を与えることが発見された。 (三輪・尾角・国場・山田 泰彦) また、パーフェクトではない結晶基底のパス理論もいくつかの興味ある例を通して構成されている。 (尾角・国場) 松井は、可解ではない模型について、基底状態を表すMatrix Product Stateがクンツ代数の表現と対応することを示した。トロイダル代数は、頂点作用素の対称性を統制する重要な代数であるが、三木はこの代数の構造についてその中に含まれる二つの量子群をつなぐ自己同型を構成した。 場の理論の可解模型は、もう一方の中心的研究テーマであるが、河東は作用素環の手法により、2次元共形場理論のモジュラー不変量の計算法を開発した。2次元の可解模型の手法を弦理論や4次元のゲージ理論に適用することも重要である。これに関して、中津は戸田格子のタウ関数の断熱極限として、N=2超対称Yang-Mills理論の低エネルギーでのeffective actionが得られることを示した。菅野と梁は質量0のクォークを持つN=2ゲージ理論のツイストで得られる位相的ゲージ理論から、4次元多様体のDonaldson-Witten不変量の一般化を得た。加藤は曲がった時空での量子重力理論としての行列模型の満たすべき条件を解析した。 3年間の研究成果として、 (1) 楕円的な可解格子模型に関する対称性に基づく解法が確立され、 (2) 混合スピン鎖を表現論的に扱うことが可能になった。さらに、 (3) 格子模型と組合せ論の間に新たなつながりが発見された。一方、場の理論においては、 (4) 幾何学的不変量の量子化についての理解が進み、 (5) 作用素環論と共形場理論をつなぐ代数的アプローチが開発された。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 九州大学, 1995年 - 1995年位相的場の理論とそのモジュライ本研究では、位相的場の理論とそのモジュライに関して、関連する基礎研究をおこなった。この問題へは、適用する数学手法において、代数的(表現論、組合せ論)、幾何的(代数幾何、複素多様体)、解析的(非線形方程式、特殊関数)等の様々なアプローチが考えられる。これらは、位相的場の理論のモジュライという広い対象をいかなるカテゴリーにおいて捉えるかの見方の違いによる。このように、多様なアプローチが可能であることが、この問題の特質と言える。いずれの方法にも長所と短所があるので、それぞれの立場からの多角的研究が必要とされる。以下に、分担者ごとの研究の概要を述べる。 山田は、表現論的、組合せ論的側面を研究し、可解格子模型に関連した興味ある結果を得た。小西は、有効な予測モデルの構成の観点から、モデルの評価法の研究をした。梶原は、無限次元複素解析の立場から、極小曲面に近い場合のガウス写像の擬等角性を研究した。柳川は、多変量離散データ解析を研究し、疎な分割表解析、および非線形構造を持つ場合に成果を得た。三町は、球関数の立場から研究し、Macdonald多項式の積分表示について重要な結果を与えた。金子は、楕円曲線と保型形式の立場からの詳しい研究を行なった。 以上の各研究の結果、それぞれのアプローチの有効性、問題点をさらに明らかにできた。当面、代数的方法が重要となるであろうと予測される。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 重点領域研究, 九州大学, 1995年 - 1995年共形場理論の可積分系への応用最近の研究により、共形場理論と関連する可解格子模型との関連が深く理解され、その様々な応用が現れてきている。なかでも、格子模型のスペクトルの粒子的構造を反映した、スピノン指標公式は、アフィン リー代数の表現論に新たな知見を与えるものとして興味深い。本研究では、中屋敷氏との共同で、このスピノン指標公式の一般化を行なった。 初めに、sl(2)の場合について、Bouwknegt Ludwing Schoutensにより予想されていた高いレベルのスピノン指標公式を証明した。もともとの共形場理論での定式化には、技術的に大きな困難が伴う。そのため我々は、粒子のなす代数のクリスタル理論的定式化を与え、これを用いることにより証明に成功した。 次に、上の結果をを対応するRSOS模型に拡張した。粒子の種類やその交換関係は、基本的に上と同じであることがわかり、我々のスピノン代数の有効性が示された。 最後に、sl(n)への拡張を試みた。最終的な証明には至っていないが、対応するスピノン指標公式の一般的予想を立てた。 関連して、格子模型の一次元状態和とKostka多項式との対応を明らかにし、アフィン リー代数の分岐関数に対するKirillowの予想を証明した。 得られたsl(n)の場合の予想の証明、および他のリー代数への拡張が今後の課題である。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 九州大学, 1994年 - 1994年ファノ多様体と超幾何函数の代数幾何的研究(1)mixed Hodge structureと高次元におけるglobal residueを応用して、高次元の複素射影空間上のlocal systemに対する交点理論の構成の研究。 (2)層の複体のhypercohomologiesとLie環の表現、Verma moduleとの対応を調べることにより、超幾何微分方程式の量子化の導出のための指導原理を与える研究。 (3)Selberg型積分の組み合わせ論的側面を注目し、これらを統一的にあつかう研究。 (4)代数幾何で既知の各種の消滅定理とlocal systemsの(co)homology群の消滅定理間の対応関係を明確にすることにより、より一般的かつ有効な消滅定理の研究。 (5)量子群GL_q(n)上の定数係数微分作用素を導入し、それが持つ良い性質を示し、古典的な不変式論で重要な役割を果たしたCapelli恒等式の量子群版を得た。 (6)R.Howeによって提唱され、群の表現論、不変式論において重要な概念であるdual pairの理論を、最も簡単ではあるが非自明で重要な組(sl_2,on)に対し量子群類似を行った。あわせてこの組に付随したCapelli恒等式も得た。 (7)極小曲面のGauss Mapに関する藤本坦孝の結果を極小に近い曲面に量的に精密化する、笹倉の問題を解決し、その擬等角性を量的に表現し、平均曲率に関する評価式より擬等角性の評価式を導いた。 (8)自乗可積分な正則関数の作る関数空間の再生核としての核関数を、抽象Wiener空間の任意の領域に対して与え、Bergmanの核関数の無限次元化に成功した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 重点領域研究, 九州大学, 1994年 - 1994年位相的場の理論とミラー対称性N=2超共形場理論およびランダウ=ギンツブルグ模型に基づく位相的場の理論の立場からのカラビ=ヤオ多様体のミラー対称性が本研究の研究課題であった。 研究計画にあげた3つのテーマ、1.シグマ模型と可積分系、2.周期積分とミラー射像、3.BRSコホモロジーとA無限大代数、のうちでは、特に1.について大きな進展が得られた。 すなわち、シグマ模型として見た場合の標的空間の複素次元cが1未満の場合について、位相的場の理論の可積分構造を多い種数のリーマン面の寄与も含めて完全に解明することができた。具体的には、まず、多い種数のリーマン面への拡張を許すc<1の模型の分類を扱い、種数0で許される多くの解のうち、N=2超共形場理論による定式化を持つADE模型のみに制限されることをしめした。次に、幾何学的解釈をもつ模型、特に複素1次元(2次元)射影空間の場合に、高い種数における可積分構造を解明した。 テーマ2.については、複素1次元トーラスの場合の計算が進行中である。 本研究の結果、cが1以上の場合、位相的場の理論の可積分構造は高い種数で一般に任意性を持つことが明らかになった。これはマージナル作用素の存在に由来しており、 テーマ3.のBRSコホモロジーの構造を反映している。ミラー対称性では、 まさにこの任意性部分が本質的であり、この点の解明が将来の課題として残された。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 国際学術研究, 京都大学, 1994年 - 1994年低次元の場の量子論とその応用この日韓両国の国際学術共同研究計画には2つの面がある。第1は、日韓の両グループの研究者の間で研究協力・共同研究を通して、研究課題である低次元の場の量子論とその素粒子論及び物性論への応用の研究を進め、下記の具体的な問題に答えを出すことである。もう1つはより長期的で広い意味を持つ。これまで両国の間には、少なくとも理論物理学の分野では、科学者のコミュニティーの間の交流がほとんどなかった。両国のグループで重要な業績があがっている分野で具体的な研究協力を進めることにより、お互いの交流を促進して行く役割も果たしたいという期待がある。主に第1の点について具体的な成果をまとめるが、終わりに、第2の点についても触れる。 素粒子論及び物性論において、重要な物理現象には非摂動的な性格のものが多く、解くことが困難である。低次元に現れる類似な問題では、厳密な取り扱いが可能な場合が多く、これらの問題を解くことが重要な意味を持つ。本研究計画では、低次元の場の量子論における数学的な厳密な方法及びそれに関連した物理的な近似方法の開発を行い、さらに、素粒子物理学及び低次元系の物性物理学のいろいろな問題へ応用することを目的とした。特に次のテーマに重点を置いた。 a)新しい型の可解模型の構成とその応用。 b)可解模型、特に長距離力がある場合の模型に対する新しい数学的な方法の開発。 c)量子重力及び弦理論に対する非摂動論的な方法。 d)素粒子論及び物性理論における超対称性及びアノマリーの役割。 これらのテーマは科研費交付申請書の段階で取り上げられたものである。これらに関して、これまでも日韓の両グループの研究者は互いに独立に、場の理論的及び数理物理学的な視点と方法の研究で、部分的には先端的な業績をあげていた。本研究計画では、両グループの研究者の研究協力を進めることにより、以下のような具体的な問題に答えを出すことを目指した。 1)境界のある可解模型とそれに対応する場の理論の構成。その物性物理学への応用。 2)その他の新しいタイプの可積分な模型の構成。 3)2次元量子重力の非摂動論的な取り扱いの開発。 4)トポロジカル場の理論と弦理論。 5)W_∞及びW_N代数の表現論とその物理の模型への応用。 6)結び目理論の統計力学への応用。 7)低次元におけるQCD及び非線形σ模型などの非摂動的な取り扱い。 8)超対称性やアノマリーの物理系への応用。 1)については、新しい可解模型の構成[10.研究発表の項のリストの8,17]、一般的な考察[18]、近藤問題などの物性物理への応用[20]などで具体的な成果が得られた。又、Calogero-Sutherland模型の境界がある場合への拡張などに関して、日本側(稲見、佐々木)と韓国側(Nam,Park)との研究協力も始まった。 2)については、韓国側のParkとShinの研究をめぐり、稲見と佐々木が議論に加わっている。 5)については、表現論的な研究の段階で新しい結果が得られつつある[11-16,19]。物理の模型との関係でも部分的な成果があった[16]。韓国側(Namとその共同研究者)もこの問題に関連した研究を行っており、日本側の小竹と松尾が研究協力を行いつつある。 3)、4)、6)の研究でも成果があった[9-10;20-24;1-4]が、これらに関しては日本側の寄与が大きかった。 7)の問題については、韓国側(Parkとその共同研究者)が中心となって研究が進められたが、日本側(稲見、[7])も議論に加わった。 8)については、アノマリーを扱う方法論で成果があった[5]。物理への応用は今後の課題である。 まとめると、1)と5)の問題については、短期間で予想外の成果が得られつつあり、密接な研究協力も始まっている。3)、4)、6)の研究も順調に進んでいる。 これまでは、日本と韓国の間の研究者の交流は、主に会議への出席や招待講演を行うことに限られていた。今回の科研費(国際学術研究)の援助を受けた共同研究計画により、日常的なレベルでの研究協力の道が開かれた。実際、佐々木・出口・稲見・小竹の4名はソウルの慶煕大学及びソウル国立大学に3週間程滞在し、日常的な議論、お互いのセミナーを通しての議論、大学院生との接触もできた。佐々木と出口は又韓国の物理学会へも出席し、研究交流の範囲や意味も広がった。これらの研究者間の地道な交流は、将来両国間における科学研究の広い意味での国際協力を促進するのにも役に立つと期待している。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 重点領域研究, 高エネルギー物理学研究所, 1993年 - 1993年共形場理論における相関関数の積分表示とその拡張1)位相的場の理論、および位相的重力理論は、リーマン面や各種のインスタントンのモジュライ空間の幾何を場の理論的に調べる手段を与える。これらの理論は、N=2超共形対称性、特異点理論、非線形可積分系等と結びつくことにより、様々な角度から、繊細な研究が可能となる。我々は、江口 徹、菅野 浩明、S.-K.Yang氏との共同研究で、これらの様々な理論の関係を調べてきた。主な成果は、次の二点である。 a)位相的場の理論を位相的重力理論に結合させた時に生ずる、重力的descendantsについて、その起源をN=2超共形対称性のBRST形式に基づいて明らかにした。 b)位相的重力理論の相関関数に対する、recursion relationと特異点理論のGauss-Manin方程式の関係を明らかにし、0点関数の周期積分公式を与えた。これらの成果により、少くとも種数0かつc<1に関する限り、上述のような様々な理論の関係が完全に明らかになった。 2)N=2超共形対称性とCalabi-Yau多様体の関係は、最近のmirror対称性の発見により、多くの研究者の注目するところとなった。これらの理論の具体的計算にあたっては、N=2Landau-Ginzburg模型が有効であることが知られている。元来N=2Landau-Ginzburg模型は、GrobalなN=2超対称性により特徴づけされており、LocalなN=2超共形対称性やCalabi-Yau多様体との関係は、必ずしも明確ではなかった。我々は、Wittenによる最近の研究に基づき、河合 俊哉、S.-K.Yang氏との共同研究でこの問題を考察した。すなわち、N=2超共形対称性と楕円的種数の一般的関係に基づき、N=2Landau-Ginzburg模型とCalabi-Yauシグマ模型の各々の楕円的種数の公式を与え、両者の比較をした。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 重点領域研究, 高エネルギー物理学研究所, 1992年 - 1992年共形場理論における相関関数の積分表示とその拡張q-変型アフィンリー代数U_q(sl_2^)のq-変型頂点演算子について、存在と一意性、2点関数、および交換関係について研究した。一昨年、q-変型アフィンリー代数に対応するq-変型頂点演算子がFrenkel-Reshetkhinによって導入され、その一般的性質が明らかにされた。我々は、q-変型アフィンリー代数U_q(sl_2^)に対して、このq-変型頂点演算子の存在と一意性を調べ、それらの2点関数、および交換関係を具体的に計算した。q-頂点演算子の存在と一意性については、q=1の場合と同様に、特にintegrable表現に対して,いくつかの結果が知られている。我々は、U_q(sl_2^)について知られている、singular vectorの具体的表示を用いることにより、integrable表現に限らず、一般のdegenerate表現について、q-変型頂点算子の存在条件を具体的に与えた。また、存在すれば一意的であることも示した。これは、q=1の場合に我々の結果の拡張である。我々はTsuchiya-Kanie理論にならって、U_q(sl_2^)で2点関数がq-超幾何関数に帰着される場合、すなわち、2つの外線spinのうちj=1/2である場合ついて、具体的に以下の計算を実行した。まずspin configuration(j1,j2,1/2,j4)に場合にq-KZ方程式を解き解をq-超幾何関数で具体的に与えた。次に、q-超幾何関数に接続公式を用いることにより、q-変型頂点演算子の交換関係を計算した。結果として交換関係に現れる行列が楕円的Yang-Baxter方程式の解(およびそのfusion)で与えられることを示した。q-KZ方程式の解は、積分表示を持つと一般に期待されている。U_q(sl_2^)の場合には、いくつかのグループにより、そのような表示が得られている。我々は、それらの一般化およびその接続問題への応用を試みている。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 重点領域研究, 高エネルギー物理学研究所, 1990年 - 1990年超弦理論と基本相互作用この研究では、10次元空間における超弦理論から我々の4次元時空の理論を導くことを目標にしている。残りの6次元部分がどのようなコンパクト空間であれば良いかについてはかなり明らかになってきたが、力学的にどのような機構でそのようなコンパクト化が起こるのか未だわかっていない。現在我々の持っている計算方法は、このような問題に答えるには不十分である事が明らかになってきた。特にコンパクト化などの非摂動効果の研究には、超弦理論を2次元場の理論と見たとき、2次元面のすべてのトポロジ-についてのたし上げが必要になるが、その技術が欠けている。一般の2次元場の理論の場合には難しいが、2次元面のトポロジ-だけで理論が決まっているような場合には足し上げられる可能性がある。そこで今年は主に2次元重力理論及びトポロジカル場の理論の研究を行った。特にどのような時に、非線形シグマ模型などの2次元場の理論がトポロジカルな理論になるかを調べた。 この研究は全国の研究者の協力によって成り立っている。今年度も平成2年12月18日から12月21日までの4日間にわたって、高エネルギ-物理学研究所において研究会を開催した。全国から百名を越える参加者があり活発な質議・討論がおこなわれた。 なお、この研究会の報告はKEK REPORTとして出版する予定である。