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石井 克幸大学院海事科学研究科 海事科学専攻教授
研究活動情報
■ 論文- We formulate a quasilinear parabolic equation describing the behavior of the global-in-time solution to a semilinear parabolic equation. We study this equation in accordance with the blow-up and quenching patterns of the solution to the original semilinear parabolic equation. This quasilinear equation is new in the theory of partial differential equations and presents several difficulties for mathematical analysis. Two approaches are examined: functional analysis and a viscosity solution.MDPI AG, 2023年02月, Mathematics, 11(3) (3), 758 - 758研究論文（学術雑誌）
- 2020年12月, Advanced Studies in Pure Mathematics, 85, 181 - 191, 英語Convergence of a threshold-type algorithm for curvature-dependent motions of hypersurfaces[査読有り][招待有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- American Institute of Mathematical Sciences, 2018年03月, Discrete and Continuous Dynamical Systems- Series A, 38(3) (3), 1103 - 1125, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer New York LLC, 2017年, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 215, 83 - 103, 英語[査読有り][招待有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2016年, INTERFACES AND FREE BOUNDARIES, 18(4) (4), 479 - 522, 英語[査読有り][招待有り]研究論文（学術雑誌）
- 2014年04月, NODEA-NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS AND APPLICATIONS, 21(2) (2), 219 - 252, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2013年01月, Mathematics, 11, 英語Quasilinear Parabolic Equations Associated with Semilinear Parabolic Equations[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2012年07月, Advances in Differential Equations, 17(11-12) (11-12), 1031 - 1084, 英語An area-minimizing scheme for anisotropic mean-curvature flow.[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2012年01月, PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES, 88(1) (1), 7 - 10, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2011年12月, APPLIED MATHEMATICS AND OPTIMIZATION, 64(3) (3), 363 - 415, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Mathematical analysis to an approximation scheme for mean curvature flowThis paper presents some mathematical analysis on the Bence - Merriman - Osher algorithm for mean curvature flow, which was proposed in 1992.GAKKO TOSHO, 2011年10月, International Syposium on Computational Science 2011, GAKUTO International Series, Mathematical Sciences and Applications, 34, 67 - 85, 英語[査読有り][招待有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2007年08月, Advances in Differential Equations, Vol. 12 No. 5 481 - 514, 英語Optimal rate of convergence to the motion by mean curvature with a driving force[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2005年06月, COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS, 4(2) (2), 311 - 339, 英語Method of the distance function to the Bence-Merriman-Osher algorithm for motion by mean curvature[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2005年, SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 37(3) (3), 841 - 866, 英語研究論文（学術雑誌）
- Gakkōtosho, 2002年06月, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 12(1) (1), 477 - 497, 英語Nonlinear second order elliptic PDEs with subdifferential[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Society for Industrial and Applied Mathematics Publications, 2001年, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 33(2) (2), 369 - 389, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Gakkōtosho, 2000年12月, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 10(2) (2), 689 - 710, 英語Unbounded viscosity solutions of nonlinear second order PDE's[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Society for Industrial and Applied Mathematics Publications, 1998年, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 30(1) (1), 19 - 37, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Aarhus Univ., Denmark, 1997年, Proceedings of the Korea-Japan Partial Differential Equations Conference, 7 - 14, 英語Regularity and convergence of crystalline motion in the plane[査読有り][招待有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- Gakkōtosho, 1996年, GAKUTO International Series. Mathematical Sciences and Applications., 201 - 214, 英語On unbounded viscosity solutions of nonlinear second order partial differential equations[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Division of Functional Equations, Mathematical Society of Japan, 1995年08月, Funkcialaj Ekvacioj, 38(2) (2), 297 - 328, 英語Viscosity solutions of nonlinear second-order elliptic PDEs associated with impulse control problems. II[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1995年, WORLD CONGRESS OF NONLINEAR ANALYSIS '92, VOLS 1-4, 2605 - 2616, 英語Some results on the viscosity solutions of fully nonlinear equations containing non-local terms[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- Gakkōtosho, 1994年12月, Advances in Mathematical Sciences and Applications, 4(2) (2), 345 - 356, 英語Viscosity solutions of nonlinear elliptic PDEs with nonlocal terms[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Department of Mathematics, Osaka University, 1993年08月, Osaka Journal of Mathematics, 30(3) (3), 439 - 455, 英語Viscosity solutions of nonlinear second order elliptic PDEs involving nonlocal operators[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Division of Functional Equations, Mathematical Society of Japan, 1993年04月, Funkcialaj Ekvacioj, 36(1) (1), 123 - 141, 英語Viscosity solutions of nonlinear second order elliptic PDEs associated with impulse control problems[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Division of Functional Equations, Mathematical Society of Japan, 1990年12月, Funkcialaj Ekvacioj, 33(3) (3), 551 - 562, 英語On the rate of convergence of solutions for the singular perturbations of gradient obstacle problems[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 京都大学, 2016年02月, 数理解析研究所講究録, 1984, 152 - 163, 英語Rate of convergence of an algorithm for curvature-dependent motions of hypersurfaces (Reconsideration of the method of estimates on partial differential equations from a point of view of the theory on abstract evolution equations)
- 京都大学, 2013年10月, 数理解析研究所講究録, 1856, 102 - 112, 英語On the convergence of an area minimizing scheme for the anisotropic mean curvature flow (非平衡現象の解析における発展方程式理論の新展開 : RIMS研究集会報告集)
- 京都大学, 2006年04月, 数理解析研究所講究録, 1481, 11 - 19, 英語Rate of convergence of the Bence-Merriman-Osher algorithm for motion by mean curvature(Viscosity Solution Theory of Differential Equations and its Developments)
- 京都大学, 2002年09月, 数理解析研究所講究録, 1287, 155 - 163, 英語Nonlinear second order elliptic equations with subdifferential terms (微分方程式の粘性解とその周辺 研究集会報告集)
- 京都大学, 2002年01月, 数理解析研究所講究録, 1242, 40 - 49, 日本語非線形楕円型偏微分方程式に対する粘性解の内部正則性について (偏微分方程式の解に対する正則性と特異性の定量的評価に関する研究)
- 京都大学, 2001年04月, 数理解析研究所講究録, 1204, 114 - 127粘性解の$L^p$理論について (非線形偏微分方程式の解の構造とその解析手法についての研究)
- 京都大学, 1998年05月, 数理解析研究所講究録, 1045, 103 - 118, 日本語Singular limit of solutions of Ginzburg-Landau equation (Related topics on regularity of solutions to nonlinear evolution equations)
- 京都大学, 1995年06月, 数理解析研究所講究録, 913, 54 - 67, 英語On unbounded viscosity solutions of nonlinear second order partial differential equations(Nonlinear Evolutions Equations and Their Applications)
- 京都大学, 1995年02月, 数理解析研究所講究録, 898, 132 - 148, 英語On the nonlinear degenerate elliptic PDEs with obstacles(Nonlinear Evolution Equations and Their Applications)
- 京都大学数理解析研究所, 1991年06月, 数理解析研究所講究録, 755, 1 - 9, 英語An Estimate on the Rate of Convergence of Viscosity Solutions for the Singular Perturbation Problems(Evolution Equations and Applications to Nonlinear Problems)
■ 講演・口頭発表等
- 応用数学勉強会2018, 2018年12月, 日本語, 国内会議平均曲率流に対する閾値型近似問題について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 楕円型・放物型微分方程式研究集会, 2018年11月, 日本語, 大阪府立大学, 国内会議平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムの収束について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Viscosity solutions and Related Topics, 2018年11月, 英語, 東北大学, 国際会議Convergence of a threshold-type algorithm to curvature-dependent motions[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- The 11th Mathematical Society of Japan (MSJ) Seasonal Institute (SI) The Role of Metrics in the Theory of Partial Differential Equations, 2018年07月, 英語, 北海道大学, 国際会議Convergence of a threshold-type algorithm for mean curvature flow[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 12th AIMS on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications, 2018年07月, 英語, National Taiwan University, 国際会議Convergence of a threshold-type algorithm for mean curvature flow[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 九州関数方程式セミナー, 2018年, 日本語, 福岡大学セミナーハウス, 1992 年に Bence, Merriman, Osher によって提案された 平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムはその簡明さから 多くの研究者の興味を引き、現在でも研究が進められている。 本講演ではこのアルゴリズムに対する最近の講演者の研究につ いて紹介する。, 国内会議平均曲率流の近似問題について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第 8 回北海道・東北コンソーシアムセミナー, 2018年, 日本語, 弘前大学, 国内会議空間曲線に対する曲率流の近似問題について口頭発表（一般）
- 松山解析セミナー 2017, 2017年02月, 日本語, 愛媛大学, In this talk I present the rate of convergence of a threshold-type algorithm for curvature-dependent motions of hypersurface. The optimality of this rate is also shown., 国内会議Convergence of a threshold-type algorithm for curvature-dependent motion of hypersurface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第 7 回北海道・東北コンソーシアムセミナー, 2017年, 日本語, 公立はこだて未来大学, 国内会議空間曲線に対する曲率流の近似問題について口頭発表（一般）
- Workshop on Hamilton-Jacobi Equations, 2016年07月, 英語, Fudan University, Shanghai, China, In this talk I present the rate of convergence of a thershold-type algorithm for curvature-dependent motions of hypersurface. the optimality of our estimate is also shown., 国際会議Convergence of a threshold-type algorithm for curvature-dependent motion of hypersurface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 抽象発展方程式理論から見た偏微分方程式に関する評価方法の再考, 2014年10月, 英語, 仙葉 隆, 京都大学数理解析研究所, 国際会議Rate of convergence of an algorithm for curvature-dependent motions of hypersurfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 東北大学応用数学セミナー, 2014年10月, 日本語, 東北大学理学研究科, 国内会議Convergence of a threshold-type algorithm for curvature-dependent motions of hypersurfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop on nolinear PDEs --PDE approach to network and related topics--, 2013年06月, 英語, Tohoku University, 国際会議Convergence of an approximation scheme for the mean curvature flow[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 金沢解析セミナー, 2013年05月, 日本語, 金沢大学理工学域, 国内会議変分法に基づく平均曲率流の近似問題について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 室蘭工業大学応用解析セミナー, 2013年05月, 日本語, 室蘭工業大学, 国内会議On the convergence of an algorithm for the anisotropic mean curvature flow and its application to the crystalline curvature flow in the plane口頭発表（一般）
- 神戸大学解析セミナー, 2013年04月, 日本語, 神戸大学理学部数学科, 国内会議変分法に基づく平均曲率流の近似問題について[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- PDE 実解析研究会, 2013年04月, 日本語, 東京大学数理科学研究科, 国内会議An approximation scheme for the anisotropic and the planar crystalline curvature flow[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 南大阪応用解析セミナー, 2013年02月, 日本語, 大阪市立大学理学研究科, 国内会議An approximation scheme for the planar motion by crystalline curvature口頭発表（基調）
- Functional Analysis and Applications, 2013年02月, 英語, 神戸大学滝川記念館, 国際会議An approximation scheme for the planar motion by crystalline curvature[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第 10 回浜松偏微分方程式研究集会, 2012年12月, 日本語, 静岡大学浜松キャンパス, 国内会議On the convergence of an area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow,[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 語ろう数理解析 セミナー, 2012年11月, 日本語, 大阪大学豊中キャンパス, 国内会議変分法に基づく平均曲率流の近似アルゴリズムについて[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 富山大学基礎解析セミナー, 2012年10月, 日本語, 富山大学理学部, 国内会議On the convergence of an area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow口頭発表（一般）
- 非平衡現象の解析における発展方程式理論の新展開, 2012年10月, 英語, 京都大学数理解析研究所, 国際会議On the convergence of an area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 日本数学会秋季総合 分科会 関数方程式論分科会特別講演, 2012年09月, 日本語, 九州大学伊都キャンパス, 国内会議平均曲率流に対する近似アルゴリズムの数学解析[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第 8 回非線型の諸問題, 2012年09月, 日本語, 宮崎県婦人会館, 国内会議On the convergence of an area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Seminar on Partial Differential Equations in Osaka 2012, 2012年08月, 英語, 大阪大学吹田キャンパス, 国際会議On the convergence of an area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow口頭発表（一般）
- The 29th J\Kyushu Symposium on Partial Differential Equations, 2012年01月, 英語, 川島秀一, 栄伸一郎, 隠居良行, Kyushu University Nishjin Plaza, 国際会議An area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow.[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 埼玉大学数学教室 解析ゼミ, 2011年12月, 日本語, 小池茂昭, 長澤壮之, 埼玉大学理学部数学教室, 国内会議An area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow.[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 名古屋微分方程式セミナー, 2011年11月, 日本語, 杉本充, 菱田俊明, 津川光太郎, 加藤淳, Graduate School of Mathematics, Nagoya University, 国内会議An area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow.[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Front propagation, biological problems and related topics: viscosity solution methods for asymptotic analysis, 2011年09月, 英語, P.E. Souganidis, 石井仁司, 儀我美一, 神保秀一, 利根川吉廣, Department of Mathematics, Hokkaido University, 国際会議An area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow.[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 偏微分方程式セミナー, 2010年05月, 日本語, 北海道大学数学教室, 北海道大学数学教室, 国内会議A time discretization to the American option pricing[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 松山解析セミナー, 2010年02月, 日本語, 愛媛大学理工学研究科 内藤雄基, 愛媛大学理工学研究科, 国内会議A time discretization to the American option pricing[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第8 回広島応用解析セミナー, 2010年01月, 英語, 広島大学工学研究科 坂口茂, 広島大学工学研究科, 国内会議A time discretization to the American option pricing[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 神戸大学解析セミナー, 2009年10月, 日本語, 神戸大学数学教室, 神戸大学数学教室, 国内会議アメリカン・オプションに対する近似問題について口頭発表（一般）
- 2nd International conference on Reaction-Diffusion equations and Viscosity solutions, 2009年07月, 英語, Providence University, Taichung, 国際会議A time discretization to the American option pricing[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Fukuoka Mini Workshop on Evolution Equations and Related Topics, 2006年08月, 英語, Yamada, Naoki, 福岡大学セミナーハウス, 国際会議An approximate problem to the free boundary of the American option pricing口頭発表（一般）
- International conference on Mathematical finance and its applications, 2006年08月, 英語, AKAHORI, Jiro, DELBAEN, Freddy, ISHIMURA, Naoyuki, KUSUOKA, Shigeo, NAKAGAWA, Hidetoshi, OMATA, Seiro, SEKINE, Jun, TAKAOKA, Koichiro, Graduate School of Natural Science & Technology, Kanazawa University, 国際会議An approximate problem of the free boundary to the American option pricing[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Nonlinear Partial Differential Equations and Applications, 2006年06月, 英語, 石井 仁司, Loretti Paola, Cortona, Italy, 国際会議Optimal rate of convergence of the Allen-Cahn equation to the motion by mean curvature[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 数理ファイナンス金沢研究集会, 2006年02月, 日本語, 竹原 均, 小俣 正朗, 金沢大学サテライト・プラザ, 国内会議アメリカンオプションに現れる自由境界問題の近似[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 九州関数方程式セミナー, 2005年12月, 日本語, 中尾 愼宏, 川島 秀一, 栄 伸一郎, 隠居 良行, 山田 直記, 内藤 幸一郎, 小林 孝行, 水町 徹, 九州大学 六本松キャンパス, 国内会議Rate of convergenc of the Bece-Merriman-Osher algorithm for motion by mean curvature口頭発表（一般）
- 確率論とPDE, 2005年08月, 英語, 三上 敏夫, 竹田 雅好, 北海道大学理学部, 国際会議Rate of convergence of the Bence-Merriman-Osher algorithm for motion[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- MSJ-IRI Asymptotic Analysis and Singularity, 2005年07月, 英語, Yoshio Tsutsumi, Hideo Kozono, Eiji Yanagida, Kazunaga Tanaka, Sendai International Center, 国際会議Rate of convergence of the Bence-Merriman-Osher algorithm for motion by mean curvature口頭発表（一般）
- Viscosity Solution Theory of Differential Equations and its Developments, 2005年06月, 英語, 小池 茂昭, 石井 仁司, 儀我 美一, 京都大学数理解析研究所, 国際会議Rate of convergence of the Bence-Merriman-Osher algorithm for motion by mean curvature[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 神楽坂解析セミナー, 2005年05月, 日本語, 東京理科大学神楽坂校舎, 国内会議Optimal rate of convergence of the Bence-Merriamn-Osher algoritm for motion by mean curvature[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第二回非線形偏微分方程式研究集会, 2005年03月, 日本語, 三沢 正史, 小川 卓克, 妙見ホテル, 国内会議Optimal rate of convergence of the Bence-Merriman-Osher algorithm for motion by mean curvature.[招待有り]口頭発表（招待・特別）
■ 共同研究・競争的資金等の研究課題
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 東京工業大学, 2023年04月01日 - 2028年03月31日標準的平均曲率流とその時間発展問題への応用
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2023年04月01日 - 2026年03月31日曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2019年04月01日 - 2024年03月31日表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の形状と特異性の解析Willmore流によって運動が記述される曲面の閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。Willmore流の場合は4階熱方程式に対する基本解のTaylor展開をもとに閾値型近似アルゴリズムが導出できることを2020年度に示したので、2021年度はその近似アルゴリズムにおいて基本解の導関数の展開を導くことによって、閾値関数から得られる閾値集合の境界での閾値関数の勾配評価を得た。また、Willmore汎関数に表面積汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲面についても閾値型近似アルゴリズムを研究し、4階熱方程式に空間変数に関する2階導関数の項を加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解のTaylor展開をもとにすれば、この場合も閾値型近似アルゴリズムが構成できることを示した。さらにWillmore流の場合と同様にしてその閾値関数から得られる閾値集合の境界での閾値関数の勾配評価を導いた。今回得た閾値型近似アルゴリズムは変分的時間離散近似との関係付けが期待できることに気づいたので、現在は曲げエネルギーに長さ汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲線の場合に変分的時間離散近似との関係性をもとにした収束証明を検討している。また、上記の閾値型近似アルゴリズムはHelfrich流(Willmore汎関数に表面積汎関数と体積汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流)によって運動が記述される曲面への応用も期待できるので、それについても現在検討している。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2020年04月01日 - 2023年03月31日曲面・曲線からなる曲率流に対する近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究石井は Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。4 階熱方程式や 2 階の項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式について、その基本解を Taylor 展開することによって閾値型近似アルゴリズムを構成した。更に 4 階熱方程式の場合には、解の挙動を詳しく調べることにより、その解を使って定義される閾値集合の性質やその境界での解の勾配評価を得た。この証明には半空間に対する定義関数を初期値とする 4 階熱方程式の解のある種の正値性が鍵となっている。2 階の項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式の解を用いて定義される閾値集合の場合にも同様の性質が得られると考えており、研究を進めている。
高坂はWillmore汎関数に表面積 (曲線の場合は長さ) 汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流について、閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。低階項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式の基本解の Taylor 展開をもとに、上記の勾配流に対する閾値型近似アルゴリズムを構成した。解を用いて定義される閾値集合について、その境界における解の勾配評価について研究を進めている。
上田はこれまでに研究を進めてきた対称双曲型偏微分方程式系の安定性解析に関する研究に着手し、既知の結果の拡張に成功した。また、一般論の拡張にあたってその最適性に関する問題が浮上したが、京都大学の前川泰則氏と共にその最適性に関する条件の導入にも着手し、ある一定の結果を得ることに成功している。 - 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 東京工業大学, 2018年04月01日 - 2023年03月31日幾何学的測度論を用いた動的変分問題の多面的研究主な研究成果として以下の２つを挙げる． （１）Salvatore Stuvard（ミラノ大学）と共同で前年度から引き続き研究を行っている余次元１の閉修正可能集合を初期値としたブラッケ流の存在定理について，特にブラッケ流の囲む領域の体積変化について，当初の我々の予想を凌ぐシャープな結果を得ることに成功した．論文はAdvances in Calculus of Variationsに出版受理済である．存在を示したブラッケ流は有界変動関数の枠組みにおける平均曲率流にもなっており，そのためブラッケ流特有の非一意性の問題を解決している．有界変動関数の枠組みの時間大域解の存在定理自体が知られていなかった中，この存在定理は一般化された平均曲率流に対して新しい概念を発見した，とも言える結果である． （２）曲面のブラッケの意味での法線方向速度が，平均曲率と外力項の和で表せる問題を考える．葛西－利根川(2014)による正則性定理により，ほとんどの点において動く曲面はパラボリックの意味で局所的にC^1級グラフになることがわかっていたが，外力項がヘルダー連続ではない場合，界面運動を表す2階放物型方程式の強解になるかどうかは未解決だった．この問題に対し，森龍之介（東工大特別研究員）と富松瑛太（D２）と共同で，もしグラフの時間微分がラドン測度であれば，グラフは期待される２階偏微分方程式の強解になっていることが解明された．興味深いことに，Allen-Cahn方程式から得られる解はこの条件を満たしている．これはブラッケの意味での界面速度の繊細な性質を表すものであり，未知であった現象である．論文はIndiana University Math Journalに出版受理済みである．
- 学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), 2017年04月 - 2020年03月, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 富山大学, 2015年04月01日 - 2018年03月31日対数型ソボレフの不等式の理論の深化と応用今回の研究では当初予定していた重要な目標を達成できた。それは、指数 p=∞のときの対数型 Sobolev の不等式を用いて、函数の gradient の sup-norm の下からの評価を与えることである。この評価は、Cauchy 問題の解の gradient の sup-norm の減衰率の最適性を示すのに応用された。この結果は、然るべき雑誌に既に論文として発行された。また、研究開始時には論文が発行間近であった、指数 p>１ に対する対数型 Sobolev の不等式の完全な証明についても研究会を通じて研究者たちに広く知ってもらうことができた。これらにより、研究は満足の行く形で達成できた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 愛媛大学, 2014年04月01日 - 2018年03月31日非線形放物型偏微分方程式における臨界指数と解の挙動半線形楕円型方程式の正値球対称解について、２つの解が交点を持つかどうかという観点から、解構造の分類を行った。解が分離構造をもち、それらの極限として特異解が得られることを示した。また、空間次元と係数関数の挙動から決定される指数において、方程式の性質が大きく変化することを示した。 優Sobolev 臨界の非線形性を持つ非線形熱方程式の Cauchy 問題の解の挙動について研究を行った。重み付きノルムによる解の収束性について考察を行い、定常解の大域的収束性を示した。とくに、接合漸近展開を基礎とした比較定理を用いることにより、ある種の初期データに対する収束レートを得ることができた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 2013年05月31日 - 2018年03月31日動的幾何問題の変分解析幾何学的測度論の枠組みで考える平均曲率流である、Brakkeの平均曲率流に関して基本的な存在定理と正則性定理を証明した。存在定理としては、n+1次元ユークリッド空間の中で任意のn次元閉集合を与えたとき、それを初期データとして時間発展するBrakkeの平均曲率流の時間大域存在を証明した。特異点集合解析については、1次元の場合の3重点周りの正則性理論を証明し、3重点が強い安定性をもつことを測度論的な立場から確立した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 静岡大学, 2013年04月01日 - 2016年03月31日汎関数により表現される消散構造をもつ非自励な微分方程式系に対する適切性本研究では，連続作用素に支配される非自励な微分方程式に対する適切性を，距離に似た汎関数による消散条件，接線条件，定義域の連結性条件により特徴づけた。必ずしも連続とは限らない作用素の場合の研究への模索として，高村，Brezis により展開された極大単調作用素に支配される自励な発展方程式に関する適切性定理を拡張した。また，発展方程式の枠組みの拡張として，遅れを考慮した関数微分方程式系の適切性定理，及び，存在性の問題に焦点を当てた，弱連続作用素に支配される発展方程式に対する解の存在定理を考察した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 東北大学, 2011年04月01日 - 2016年03月31日完全非線形方程式の粘性解の基礎理論と応用超線形増大の一階微分項を持つ退化楕円型方程式の非有界粘性解に対する比較原理を得た。アイザックス型微積分方程式の粘性解の表現公式を与えた。一階微分項に非有界係数を持つ完全非線形一様楕円型方程式のLp粘性解に対する局所最大値原理を構築した。強圧的一階微分項を持つ微積分方程式の粘性解の正則性と時間大域的挙動を議論した。超線形増大の一階微分項を持つ完全非線形楕円型方程式の全域解の存在と一意性を得た。両側障害物を持つ平均曲率流方程式の粘性解のリプシッツ連続性を示した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 早稲田大学, 2011年04月01日 - 2016年03月31日粘性解理論の深化と応用ハミルトン・ヤコビ方程式と粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間漸近挙動， 割引消去問題等の偏微分方程式の漸近問題を扱い，粘性解の漸近挙動と一般理論に関する重要な新知見の獲得等の多くの成果を挙げた．また，特異拡散方程式や積分微分方程式について解の存在，一意性等の基礎理論を整備した．ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解を解析し，最小化大偏差確率の時間大域的評価，非完備な市場モデルにおける最適消費・投資問題に対する強検証定理の証明，確率最適輸送問題への研究法の開発等で成果を挙げた．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 富山大学, 2012年04月01日 - 2015年03月31日ハミルトン－ヤコビ方程式と対数型ソボレフの不等式の研究本研究を通じて、主に以下の３つの成果を得た。まず、Hamilton-Jacobi方程式の解の超縮小性の評価などを使い、Lp型の対数型Sobolevの不等式の完全な証明を新たに得ることに成功した。また、この不等式でp→∞にした不等式の持つ性質について, Laplace変換や正則変動理論を用いて、細かい部分まで明らかにすることができた。さらに、Hamilton-Jacobi方程式の解の構造を決定する集合を考察した。この集合は、境界値問題の一意性集合のような働きをする。これらの結果は、研究期間に３本の論文として纏め発表することができた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 愛媛大学, 2011年04月28日 - 2015年03月31日非線形放物型偏微分方程式の解の特異性と定常問題の解構造非線形放物型偏微分方程式に対して、解の特異性と定常問題の解構造との関連性について考察を行った。半線形熱方程式のCauchy 問題の解の挙動において、自己相似解が複数個存在する場合の、それら自己相似解の役割を明らかにした。半線形熱方程式のCauchy 問題において、解が有限時刻爆発するための初期関数の無限遠方における最適な減衰条件を示すことができた。p-Laplace 作用素をもつ楕円型偏微分方程式の特異境界近傍における球対称振動解の漸近的挙動における幾何学的性質を明らかにした。
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2012年04月 - 2015年03月, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 富山大学, 2009年 - 2011年ハミルトン・ヤコビ方程式のオーブリー・マザー理論の新展開とその応用本科研費に関する研究については,オーブリー・マザー理論に関連したいくつかの結果を得て研究会やセミナーでこれらの結果を講演した.また,これらの結果はいくつかの数学専門雑誌に掲載された. 最初の結果は,ハミルトン-ヤコビ方程式の商オーブリー集合と最少化公式の一意性集合の関係を明らかにしたものである. 2番目の結果は,ハミルトン-ヤコビ方程式のオーブリー集合に対する比較定理を使って古典的不等式の新たな証明を与えたというものである. 3番目の結果は,リプシッツ定数を含む最適な対数型ソボレフの不等式を導いたというものである.この不等式の証明においては,あるハミルトン-ヤコビ方程式における,オーブリー・マザー理論で現れる漸近解が使われている. 4つ目の結果は, 2次のグラジエント項を持つあるハミルトン-ヤコビ方程式のコーシー問題の粘性解の漸近挙動に現れる収束率を考えている.その中で,この収束率を決める重要な要因がこのハミルトニアンの半凸性であることを明らかにした.ここで,オーブリー集合はこのハミルトニアンの半凸性と密接に関連している. 以上の結果として,オーブリー・マザー理論を使って,本科研費に関する研究は満足のいく仕事になったと確信している.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 2008年 - 2010年非線形放物型方程式の自己相似性と解の特異性非線形放物型偏微分方程式に対して、自己相似解の解構造を解明すると共に、時間大域解の漸近挙動における自己相似解の役割について研究を行った。とくに非線形項の指数がSobolevの埋め込みの意味で臨界的な場合の非線形放物型方程式の自己相似解の構造について新たな結果が得られた。さらに走化性方程式系に関わる非線形問題への応用について研究を行った。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 埼玉大学, 2008年 - 2010年完全非線形方程式の粘性解理論とその応用完全非線形2階楕円型偏微分方程式の粘性解の基礎理論を研究した。一様楕円型方程式が1階微分項に非有界係数がある場合に、Lp粘性解に対し、弱ハルナック不等式が成立することが証明された。その応用として、強最大値原理、非有界領域での最大値原理、Phragmen-Lindelof定理など、Lp粘性解の定性的性質が示された。 また、退化楕円型方程式が1階微分項に関して一次以上の増大度がある場合に、粘性解が属する適切な関数空間を設定し、その下で粘性解の比較原理を証明した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 東京大学, 2006年 - 2009年現象に現れる非等方的曲率流方程式の解析結晶成長現象解明や画像処理のために、曲線や曲面を一定の法則で変形させる様々な方程式が提案されている。中でも重要な曲率流方程式で、表面エネルギーが非等方的で特異なものに取り組んだ。クリスタライン曲率流方程式に対応する常微分方程式系の初期値問題について、自己相似解と幾何学的手法により、一般初期多角形からの可解性を示した。また特異表面エネルギーが衝撃波解析にも有効な事を示した。さらに結晶成長で必要な非一様外力付曲率流方程式で、比較原理の基礎を粘性解理論を拡張して導いた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 早稲田大学, 2006年 - 2009年微分方程式の粘性解理論とその応用の研究微分方程式の粘性解理論とその応用の研究に関して、境界値問題の粘性解、弱KAM理論、粘性解の正則性、最適化問題、微分方程式の種々の漸近問題、曲率流や界面の時間発展、質量輸送の問題、工学・経済の問題を研究した。本研究組織のこれまでの研究の蓄積の上に、個々の課題に対して多くの新しい知見を得ることが出来た。特に、弱KAM理論におけるオーブリ集合の研究とその漸近問題への応用での貢献は大きい。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 富山大学, 2006年 - 2008年粘性解理論に基づくハミルトン-ヤコビ方程式の漸近解の研究まず,領域がn次元ユークリッド空間全体のとき, Ornstein-Uhlenbeck作用素を含むHamilton-Jacobi方程式の解の時間無限大での漸近解への収束の様子を明らかにした. 続いて,このHamilton-Jacobi方程式からOrnstein-Uhlenbeck作用素の粘性項が消去された場合に,漸近解への収束の様子を明らかにした. 前者は確率制御理論への応用を持っている. 後者は, Aubry-Mather理論に基づく解の表現を新たに与えることを可能にした. 次に,領域がn次元ユークリッド空間全体のとき, Hamilton-Jacobi方程式の解の時間無限大での漸近解への収束率を遅くする要因がAubry集合の幾何学的な性質と初期値の下限との関係であることを明らかにした. これは,従来の研究が漸近解への収束のみを考えるものであった点から,収束率を遅くする要因を明らかにしたと言う点で一歩踏み込んだ研究と考えられる. その他として, 上記研究に関連して2つの研究成果が得られた. ひとつは, 相加相乗の不等式, ヘルダーの不等式,ヒルベルトの不等式の証明をAubry-Mather理論により導くというものである. もうひとつは, Ornstein-Uhlenbeck作用素がポアンカレの不等式においてどのような役割を果たしているかについて明らかにしたものである.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 2006年 - 2008年生体現象の数理解析とシミュレーション生体現象、特に悪性腫瘍細胞の結合組織への浸潤を記述した数学モデルに対する理論解析および数値シミュレーションを行った。これまで数値計算的にさまざまな進行波解が得られていたが、今回の研究において、滑らかな進行波解の存在に対する解析的な証明を与えるとともに漸近的性質を調べた。また広い意味での生命現象の数理解析を目指し、侵入現象に対する進行波解や競争系に対する解の遷移層などのパターン形成の解明を行った。
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2008年, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 埼玉大学, 2004年 - 2007年完全非線形方程式の粘性解理論とその新たな発展に関する研究Swiechとの共同研究で、完全非線形2階楕円型・放物型方程式が1階微分に関して1次以上の増大度があり、非有界係数・非斉次項のある場合に、ABP型最大値原理が成立する条件を与えた。また、一般には成立しない反例を与えた。そのため、"逐次比較関数法"を最初に導入した。ここでは、最大値評価の係数や非斉次項に関する依存性も詳しく解析した。特に放物型方程式の場合は1階微分に関し1次以上の増大度があっても、係数が有界であれば、ABP型最大値原理が無条件で成立していることが証明され、楕円型方程式との明確な相違点を明らかにした。 L^p粘性解においては、通常の粘性解における強力な存在定理であるペロンの方法を最初に適用した。そのため、半連続L^p粘性解を初めて導入した。更に、危険鋭敏的最適制御に現われる偏微分方程式の強解の存在を示した。 分担者・森本および、森本・坂口茂(愛媛大学)との共同研究では、数理ファイナンスに現われる幾つかの最適停止時刻問題に関して、近似方程式の粘性解の微分可能性を高めることによって、最適ポリシーを構成した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 萌芽研究, 2003年 - 2005年画像処理の数理における実解析的手法の探索研究実績は以下のとおり. 研究代表者の小川は研究分担者の石井克幸と協力者の後藤陽子と共同で平均曲率流方程式を等高面の方法で考え、そのBence-Merrimen-Osher型の数値解析アルゴリズムの解への収束を、半線形熱方程式の解に対する特異摂動の観点から考え、粘性解の方法により証明した。平均曲率流方程式は特に画像処理の際のノイズ消去に有効に用いられるがその場合のBMOアルゴリズムの有効性が示せた. また,小川は単独で,鉄磁性体の2次元ising型spinモデル(シグマ模型)に対する連続体近似を考え、その半線形化方程式のエネルギー空間における可解性を新しいゲージ変換を考えることにより与えた。また関連して、粘性が入る場合に鉄磁性体モデルとSchrodinger写像、調和写像熱流との相関を議論し、それぞれ係数が極限と成る場合の状況について、ゲージ変換による議論、単調性公式による議論により特異性の発生について考察した。 分担者の服部はプレシルピンスキーガウケットと呼ばれる無限フラクタル格子上の単純ランダムウォークと自己回避確率連鎖を連続的に内挿する自己抑制・吸引的確率連鎖の族を構成し,変位の指数を与えた. 分担者の木村はパラメータを含む移流項を持つ楕円型方程式の第一固有値の特異摂動問題を考察した.移流の代表速度を表すパラメータが無限大に近づくとき起こる固有値の指数減衰現象について,空間1次元の場合に精密な漸近挙動評価を得た. 分担者の松本は生成作用素の定義域が稠密でないanalytic semigroupおよび、integrated semigroupの時間に依存しない非線形摂動を考察し、汎関数を用いた一般的な増大条件の下で、弱解を与える発展作用素が存在するための必要十分条件を、方程式に対する陰的差分近似の存在によって与えた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 藤田保健衛生大学短期大学, 2003年 - 2005年医学領域の諸現象の数理モデルとその解析星野は腫瘍の血管新生をモデルとした反応拡散方程式系(Othmer-StevensモデルやAnderson-Chaplainモデル)を一般化したものを主要研究対象として、ヘルダー空間における適切性・リャプノブ関数の存在を示した。また数式処理ソフトMapleによってモンテカルロ法によるシミュレーションプログラムを組んだり、解の挙動の理論解析の準備や理論の説明に有効なシミュレーション例を有限要素法ソフトFlexPDEにより作成した。さらに今までに得られた結果(理論・数値計算)を日本応用数理学会数理医学研究部会やシンポジウム等の研究集会において発表した。 久保は腫瘍血管新生に関連する反応拡散方程式系から導出される退化型双曲型方程式の解の構成と漸近挙動について、特に初期値の形状が定数状態からの摂動が小さい場合に対してガレルキンの方法を適用して考察した。 石井はBence-Merriman-Osherによって考案された平均曲率流の近似計算アルゴリズム(BMOアルゴリズム)について研究し、Allen-Cahn方程式に対する漸近解析の方法と符号付き距離関数を用いて、BMOアルゴリズムから直接的に平均曲率流方程式を導くような収束の証明を与えた。またコンパクトで滑らかな平均曲率流の場合にBMOアルゴリズムの収束の速さを求め、それが最良であることを平面における円周の場合に示した。 内藤は運動性の活発なProteus mirabilisを用いて、数種類の固形培地、半流動培地および培養温度の違いによる運動性の相違について観察した。適当な条件を決定しデータの収集を行い、主に微生物の増殖を記述する不連続非線型項をもつような数理モデルの妥当性を考察した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 早稲田大学, 2003年 - 2005年粘性解の理論と応用の研究主要な結果を列挙する.適正粘性解の定義と関連して,1階偏微分方程式の解を等高面法アプローチにおいて垂直方向の特異拡散が有用であることを提唱し,この方法の基礎を確立した. 大値原理の研究では,極小曲面方程式を含むような完全非線形楕円型方程式の粘性解に対する強比較原理を確立した.Lp粘性解に対して最大値の原理が成立しない例を構成するとともに,これを排除するような適切な条件下で最大値原理・ヘルダー連続性・ディリクレ問題の可解性を得た.磨耗過程の数学的モデルとして,凸化ガウス曲率流を提唱し,その一般化である非左方的凸化ガウス曲率流を等高面法により定式化し,その偏微分方程式の粘性解の存在と一意性を示した.非等方的凸化ガウス曲率流の確率近似モデルを提唱し,その確率収束を示した.糸晶の形が円柱の場合に,ベルグ効果の発現を数学的に証明した.BMOアルゴリズムについて,収束の新証明と収束の速さについて最良評価を導いた.異方的平均曲率流をうすい膜の中で考え,膜の厚さをゼロとした時の極限の存在とその特徴づけを行った.オルンシュタイン・ウーレンベック作用素を持つ半線形放物型方程式の解の時間無限大での漸近解への収束を証明した.一様楕円型方程式の周期均質化において楕円性の消滅と均質化が同時に起こる状況の解析に成功した.調和経路過程のゼロ雑音極限の存在と一意性を示し,コスト関数が2次関数の場合のモンジュ・カントロビッチ問題の解の存在と一意性を示した.数理ファイナンスに関して,有界な制御を持つ最適停止時刻問題の最適ポリシーの構成,ファクターモデルと呼ばれる市場モデルの期待効用最大化問題の最適戦略の構成,部分情報下で期待効用最大化問題の最適戦略に対する必要条件の導出を行った.p-ラプラス方程式のpを無限大にする極限での,比較的一般的な状況における,解の漸近挙動を解析した.
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2005年競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2005年競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2005年競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2005年, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 2002年 - 2004年粘性解理論の特異摂動問題への応用に関する研究研究代表者の石井はBence, Merriman, Osherによって考案された平均曲率流の近似計算アルゴリズム(BMOアルゴリズムと呼ぶことにする)について研究し、以下のような結果を得た。 1.BMOアルゴリズムの数学的な正当性の証明は過去にも多くの数学者によって証明されているが、それらは等高面の方法と呼ばれる、平均曲率流を間接的に扱う方法を基にしている。石井はAllen-Cahn方程式に対する漸近解析の方法と符号付き距離関数を用いて、BMOアルゴリズムから直接的に平均曲率流方程式を導くような収束の証明を与えた(後藤陽子、小川卓克両氏との共同研究)。この結果はCommunications on Pure and Applied Analysisに掲載されることが決まっている。 2.BMOアルゴリズムの収束の速さに関してはあまり結果が無かった。そこで、コンパクトで滑らかな平均曲率流の場合に収束の速さを求め、それが最良であることを平面における円周の場合に示した。この結果はSIAM Journal of Mathematical Analysisに掲載されることが決まっている。 分担者の丸尾は平面における半線形退化楕円型偏微分方程式について研究し、以下の結果を得た。 3.方程式の係数が球対称で、無限遠方で適当な増大条件を満たすとき、その方程式の連続な粘性解は必ず球対称になる。この結果はAdvances in Mathematical Sciences and Applicationsに掲載された。 分担者の影山は関数近似理論で用いられる、修正Bernstein多項式の収束の速さや零点の分布等の詳しい性質を研究中である。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 福岡大学, 2001年 - 2003年劣微分項を含む偏微分方程式に対する粘性解の研究本研究では、障害物問題をあらわす偏微分方程式が、劣微分項を含む多価の偏微分方程式を用いて表されることに着目し、このような方程式に対して粘性解の理論を一般化し、発展させることを目的として、これまでに得られている諸結果を集大成するとともに、粘性解の特性を最大限に利用して、これまでより精密な解の挙動の評価や近似解の構成を行うことなど、関連する問題を幅広く研究した。具体的には、障害物問題を典型例として、様々の偏微分方程式を劣微分項を用いて定式化し、粘性解の方法が適用できるように理論を整備する、・劣微分項を含む方程式に対する粘性解の概念を用いた定式化と、これまでに知られている他の手法について比較検討し、粘性解理論の優位な点を発見、展開する、・様々な非線形偏微分方程式の可解性と粘性解の手法との比較検討をおこなう。 の3点に重点をおいて研究を遂行した。その結果、変分不等式を例とする、劣微分項を持つ非線形2階退化型楕円型偏微分方程式についての粘性解を新たに定義し、その一意存在を証明することに成功した。従来、変分不等式は制限条件付きの変分問題、劣微分作用素の理論等の関数解析的方法で研究されてきたが、今回の研究では、一般の非線形2階楕円型偏微分方程式に対する粘性解の概念を劣微分の定義と組み合わせることで拡張し、解の一意存在、安定性を証明した。また、劣微分項に対する吉田近似を考え、その収束性を証明した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 2000年 - 2002年微分方程式の粘性解とその応用の研究本研究により,次のような成果を得た.(1)海岸で波に洗われる石の磨耗の数学的モデルとして,1974年にW.Fireyはガウス曲率流を提唱した.これを一般化して石が凸でない場合を考え,その磨耗のモデルとして非局所的ガウス曲率流(凸化ガウス曲率流)を導入し,この凸化ガウス曲率流に対する等高面法を確立した.(2)この凸化ガウス曲率流に対する弱解を定義し,その一意性を証明し,さらにその存在を離散確率近似により証明した.(3)確率制御における状態拘束問題を研究し,これまでに知られていた条件に較べてより自然でかつ弱い仮定のもとで,その値関数のリプシッツ連続性,ヘルダー連続性,値関数が対応するベルマン方程式の粘性解であること,この方程式の状態拘束問題の粘性解が一意に存在することを証明した.(3)バーガース方程式に代表される解がショック現象を起こす1階の偏微分方程式に対して,適正粘性解の概念を導入し,発散型とは限らない1階の方程式の大域的な不連続解の一意存在を確立し,さらに粘性消滅法による近似解のグラフのハウスドルフ距離における適正粘性解への収束を確立した.(4)解の勾配に関しての増大度が2次であるような一様楕円型方程式のL^P粘性解に対するヘルダー連続性評価を,L^∞評価成立の仮定の下で,証明した.(5)Capillary型の境界条件の下での平均曲率流に対する等高面法において現れる特異放物型偏微分方程式とその一般化に対する粘性解の比較定理を確立し,粘性解の一意存在とCapillary型境界条件下での平均曲率流の一意存在を確立した.(6)積分項を持つハミルトン・ヤコビ方程式に対して,積分論における単調関数族の議論により,方程式がボレル可測関数で与えられる場合に粘性解の存在を示し,一般的な粘性解の存在定理を確立した.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸商船大学, 1998年 - 2001年特異性をもつ非線形偏微分方程式に対する粘性解研究成果は以下のとおり. この研究において代表者の石井は,特異性をもつ非線形偏微分方程式に対する粘性解について,その存在,一意性,安定性や近似問題への応用について調べた.主に,極低温下におけるヘリウムの結晶成長にみられるような,多角形の特異な曲率による運動の解析や凸とは限らない単純閉曲線の曲率による運動への近似問題への応用については,満足のいく結果を得ることができた.Bence, Merryman, Osherによって考案された全空間における平均曲率流の近似アルゴリズムは,少し形を変えたものとはいえ,有界領域における平均曲率流についても近似が可能であることを示すことができた. 全空間で定義された非線形楕円型/放物型偏微分方程式に対する非有界な粘性解の一意性について,それがなりたつような関数の増大度のクラスを非線形項の増大度との関係で完全に決定することができた.更に,劣微分項をもつ非線形楕円型偏微分方程式に対して劣微分の定義を用いて粘性解の定義を拡張することにより,解の一意存在を証明した. 分担者の丸尾は非線形退化楕円型偏微分方程式の境界値問題に対する連続な粘性解は球対称に限るかどうか,を中心に研究した.n次元球で定義された非線形退化楕円型偏微分方程式の境界値問題について,係数が球対称という仮定のもとで連続な粘性解が一意で球対称解に限るための必要十分条件を示した.この結果はほぼ最良のものと思われる. また,全空間で定義された場合は連続な粘性解が有界な場合と非有界な場合に分けて,球対称な粘性解の存在,一意性等について考察した.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸商船大学, 1997年 - 2000年楕円型偏微分方程式に対する粘性解と球対称解球対称な係数を持つ非線形退化楕円境界値問題についてその連続な粘性解は存在し球対称解に限るか否か、を中心に研究を行った。われわれの考察した偏微分方程式は次のような形をしている。ただし、領域は、有界なN次元球である。 -g(|x|)Δu+f(|x|,u)=0 and Dirichelt problem ここでg(|x|),f(|x|,u)は連続,gは非負な関数で,fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。 まず有界な領域において考察した。新しくstandard viscosity solution(g=0なるxに対してu(x)=φ(x)すなわちf(|x|,u(x))=0)という概念を導入し、この解に限れば解は存在し球対称解に限ることが証明された。 また、上の条件に加えgにある積分条件(gの零点を含むいかなる近傍においてもg^<-1>の積分は発散する)を課すと、連続な粘性解は一意に存在しその解は球対称解であることが示せた。またこの条件は、連続な粘性解は一意に存在するための必要十分な条件であることも示すことができ、この粘性解は球対称解であることも示せた。このTypeの方程式では連続な粘性解の一意存在の条件は、我々の条件がぎりぎりの物であると考えている。 これは、O.J.Mに掲載される。 次に非有界な領域において、無限遠点である種の境界条件を満たす連続で非有界な粘性解の考察した。連続な粘性解が存在するか否か(存在しない境界条件もある)一意はどうか、またその解は球対称解であるか否かの問題に対し、解が無限大にゆく速度を多項式の位数で分類することにより、無限遠点での境界条件のいれかたを明らかにした。ただし、この場合においては、g,fに十分な滑らかさを仮定している。 また準線形半線形退化楕円境界値問題についても考察した。ここでは、g(|x|,u),f(|x|,u)は連続、gは非負な関数で、fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。また連続な陰関数が存在しその関数にある意味での滑らかさを仮定した。このとき連続な球対称な粘性解の存在を保証した。一意性に関してはgとfにf/gがuに関して単調増加であるような関数関係を仮定すれば、保証されることを示した。これはF.Eに投稿中。これらの研究をするにあたり、常微分方程式の解の存在定理、また構造定理が大変有効な手段となり、特に,gの零点付近の解析が大変役立った。また、劣粘性解、優粘性解に関する比較定理が大変有効に働いた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸商船大学, 1998年 - 1999年関数解析の手法を用いた粘性解の研究球対称な係数を持つ非線形退化楕円境界値問題についてその連続な粘性解は存在し球対称解に限るか否か、を中心に研究を行った。われわれの考察した偏微分方程式は次のような形をしている。 -g(|x|)Δu+f(|x|,u)=0 ここでg(|x|),f(|x|,u)は連続,gは非負な関数で,fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。 まず有界な領域において考察した。新しくstandard viscosity solution(g=0なるxに対してu(x)=ρ(x)すなわちf(|x|,u(x))=0)という概念を導入し、この解に限れば解は存在し球対称解に限ることが証明された。また、上の条件に加えgにある積分条件(gの零点を含むいかなる近傍においてもg^<-1>の積分は発散する)を課すと、連続な粘性解は一意に存在しその解は球対称解であることが示せた。またこの条件は、連続な粘性解は一意に存在するための必要十分な条件であることも示すことができ、連続な粘性解が球対称解のみであるための条件に関してこのTypeの方程式では我々の条件がぎりぎりの条件であると考えている。ただし、領域は、有界なn次元球である。 次に非有界な領域において、無限遠点における境界条件満たす連続で非有界な粘性解の考察した。連続な粘性解が存在するか否か(存在しない境界条件もある)一意はどうか、またその解は球対称解であるか否かの問題に対し、無限遠点における解の状態を位数で分類することにより、明らかにした。ただし、この場合においては、g,fに十分な滑らかさを仮定している。 また準線形半線形退化楕円境界値問題についても考察した。ここでは、g(|x|,u),f(|x|,u)は連続、gは非負な関数で、fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。また連続な陰関数が存在しその関数にある意味での滑らかさを仮定した。このとき連続な球対称な粘性解の存在を保証した。しかしまだ一意性は保証されていなくこれからの問題である。これらの研究をするにあたり、常微分方程式の解の存在定理、また構造定理が大変有効な手段となり、特に,gの零点付近の解折が大変役立った。また、劣粘性解、優粘性解に関する比較定理が大変有効に働いた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 福岡大学, 1997年 - 1999年非線形偏微分方程式の解の挙動と相変化への応用本研究は様々な自然現象にあらわれる相変化問題をモデル化して得られる偏微分方程式について,数学的立場から総合的に研究を行った。 主な分野は,(1)障害物問題と相変化の界面との関連,(2)結晶成長モデルの解析,(3)相転移問題のモデル方程式の解析,(4)常微分方程式の定性的理論,である。 (1)については,障害物問題,特に両側障害物問題を粘性解の概念を用いて定式化し,その応用として解の障害物と接触する領域の大きさについての評価について考察した。接触領域の境界は相変化する現象の界面のモデルと考えられる。これまでにも変分不等式の理論を用いて片側障害物問題は考察されていたが,ここでは粘性解の概念を用いて両側障害物問題を考察した。また∞-Laplace作用素の固有値問題と障害物問題の関係についても予備的な考察を行った。(2)については極低温下での結晶成長の1つのモデルとして、多角形のクリスタライン曲率による運動がある。クリスタライン曲率に従って運動する多角形の族の存在とその挙動を調べ、クリスタライン曲率が滑らかな曲線の曲率を近似することに注目して、単純閉曲線の曲率による運動への近似問題に応用できることを示した。(3)については新しい自由エネルギーから得られる偏微分方程式系について,大域解の存在と一意性が得られた。(4)については,非線形常微分方程式の解が振動解である条件や正値解であるための条件について考察した。本研究の目的とするような,現象に密接に関連する偏微分方程式の研究においては,特殊解,近似解が有用である。このような観点から常微分方程式の定性的研究が有用であった。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 東京都立大学, 1997年 - 1999年粘性解の理論と応用次のような研究成果をあげた。1.最適制御における状態拘束問題に対して、対応するハミルトン・ヤコビ方程式の必ずしも滑らかでない粘性解からフィードバック型の最適制御を構成する問題を考え、近似的最適制御であれば構成できることを証明した。その構成法も与えた。2.BarronとJensenによる半連続粘性解の一意存在定理は最適制御における値関数の特徴づけに、値関数が半連続である場合に基本的であるが、無限次元ヒルベルト空間上での半連続粘性解の一意存在定理を確立した。3.エルゴード制御はそれ自身重要であるが、ハミルトン・ヤコビ方程式の均質化にも関連している。ハミルトン・ヤコビ方程式に対するエルゴード問題を考察し、ある種の値関数を導入し、この関数を通して解の存在の特徴づけを行った。4.凸性のない一階のハミルトン・ヤコビ方程式の初期値問題に関して半連続な初期値に対して時間大域的に一意に解ける解の概念を導入し、従来の解との比較を行った。5.リスク鋭感的確率制御のベルマン方程式の可解性、一意性、解の滑らかさ、を調べ、粘性解の方法を用いて、その特異極限と微分ゲームとの関連を考察した。6.凸体のガウス曲率流は、岩石の磨耗のモデルとして現れる。このガウス曲率流のある幾何学的近似法を提唱し、その収束を証明した。7.制御された確率微分方程式の解の与えられた集合に対する不変性と対応するハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の粘性解のその集合への制限可能性との同値性を証明した。8.ガウス曲率流に関して、平坦部分の待ち時間を研究し、初期曲面の一点において二つの主曲率が0であれば、その点待ち時間は正であることを証明した。さらに、初期曲面が滑らかであっても、平坦部分を持つならばそのガウス曲率流はC^2級ではなくなることを証明した。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 神戸商船大学, 1994年 - 1994年関数解析的方法方法による非線型波動方程式の研究時間遅れを持つ非線形波動方程式(1)d^2u(t)/dt^2+∂Φu(t)+∂Ψu(t-h)+∫^0_<-h>a(-s)∂Φu(s+t)ds∋fを実ヒルベルト空間H(L^2(Ω))で考える。ここでΦ、ΨはHから(-∞,∞)への下半連続な凸関数でその劣微分を∂Φ、∂Ψと表わしている。しかしこのままの非線型で考えるのは大変難しいので、まず線型の場合を考えた。すなはちAを自己共役な正値線形作用素、A_1を線形閉作用素(A⊂A_1)とし、∂Φ=A、∂Ψ=A_1としたとき上記の解の存在と一意性を調べた。遅れを持つ作用素や外力f、初期値u(0)=a,(du/dt)(0)=bがA_nのn乗巾の領域に入っていることと(1)の解の存在域との関係がはっきりしてきた。また非斉次項fの微分可能性と解の存在域との関係も同様にわかってきた。これらから線型方程式の場合の解の存在と一意性についての十分条件が(ほぼ必要条件)見つかったと思う。今原稿の作成中である。また非線型方程式については∂Ψ(X)のnormがΦ(X)で押えられるなら解の存在はいうことができた。しかしいまだ満足するものではなくいましばらく研究を要すると思う。また遅れを含む方程式という観点から、遅れを含む非線型拡散方程式du(t)/dt+∂Φu(t)+∂Φu(t-h)+∫a(-s)∂Φu(s+t)ds∋fにつても調べた。fがL_1(0,T;H)に含まれているとき、今までにわかっていた連続解よりは滑らかな無条件連続な解を見つけることができた。ただしΦには適当な仮定が入る。しかしこの仮定は線型の場合は無条件に成るような仮定である。またこの場合の方程式は生物モデルも含んでいるので、生物モデルに現われる楕円形方程式についても調べた。すなはち一点で特異性を持つ楕円型方程式の解の一意性についてである。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 神戸商船大学, 1993年 - 1993年二階非線形偏微分方程式に対する粘性解の研究1.全空間における非線形楕円型方程式(*)F(x,u,Du,D^2u)=0 in R^nの粘性解が一意に存在するための解のクラスをFの構造と関連させて決定した.主結果を粗く述べると、F(x,u,p,X)がpに関してm(m≧1)次の多項式、xに関してμ(μ≧1)次の多項式のようなふるまいをし、mとμとの間に1<μ
1,N≧2,LAMBDA(x)=(1-|×|)^λ(|×|<1のとき);=(|×|-1)^λ(1<|×| 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 神戸商船大学, 1992年 - 1992年関数解析的方法による発展方程式の研究(ア)制御システムに表れる方程式を含む、時間遅れhを持つ方物型方程式をヒルベルト空間で発展方程式として表現し、その方程式系が解を一意的に持つ為の外力項の研究をした。その結果は外力項がt=0における変格積分は可能でありかつL^2loc(O,T:H)に入っているが、L^1(O,T:H)には入るとはかぎらないという大前提の元、t=nh(n=0,1,2,…,N)では連続になるとはかぎらないがt≠nhでは方程式を満す弱解の存在と一意性を示す事ができた。又弱解であって、解が連続になる外力項の必要十分条件を示す事にも成功した。これらを一つにまとめO.J.Mに投稿中である。 投稿の時点においてはまだ未解決であった、弱解で中t=0で不連続になる解が存在する方程式系の外力項を、具体的に構成する事に成功した。その上に弱解でnohまでは連続であるがt=nohでは不連続となる解を持つ方程式系の外力項の構成もほぼ完成しており、現在論文作成中である。次に劣微分作用素を非線型項に持ちかつ時間遅れhを持つ非線型方物型方程式を考え、線型と同様な問題を研究した。線型と同様な議論ができず、弱解の定義すらはっきりしないが、連続な強解を得る為の外力項の十分条件を見つける事ができた。この外力項は当然我々の大前提は満足している関数であって真にL^1(O,T:H)に入らない物である。これらをまとめて論文とし投稿中である。 (イ)劣微分項を非線型項に持つ非線型双曲型方程式の解の存在について、空間次元一次元で障害物の上に弦の張った時の振動方程式を含む様な条件を劣微分作用素に付けかつその障害物が時間と共に動く様な場合で、解の存在を示した論文はF.Eに授理された。又障害物は動かないが、方程式系に時間遅れを入れた方程式系の解の存在については、O.J.Mに発表した。
研究シーズ
■ 研究シーズ- 曲面・曲線の曲率による運動についての数値計算法とその応用シーズカテゴリ：自然科学一般 , 情報通信研究キーワード：平均曲率流, 非線形偏微分方程式, 粘性解, 等高面の方法研究の背景と目的：平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムについて、等高面の方法と粘性解理論を応用して研究しています。元々は物性物理等における界面運動の解析が目的でしたが、最近は画像処理や界面ネットワークへの応用も研究されています。研究内容：平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムについて、その正当性を等高面の方法と粘性解理論を用いて証明しています。更に最良誤差評価も求めています。最近は曲率で動く渦糸の運動や細胞膜の変形をモデルとする Willmore 流、および次世代デバイスに関連する表面拡散流への応用について研究しています。期待される効果や応用分野：閾値型近似アルゴリズムの数学的な収束を証明することで、そのアルゴリズムの正当性が得られます。曲線・曲面の曲率による運動が現れる分野への応用が期待できます。