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高岡 秀夫
大学院理学研究科 数学専攻
教授

  • プロフィール

    数理物理学の様々な分野に現れる，波の広がり（分散性）と相互作用による波の集まり（非線形性）の性質を持つ非線形分散型波動方程式を，関数解析学的手法・調和解析学的手法を用いて研究しています．初期値問題に対する解の一意存在に関する基本的な問題，解の散乱理論などの解の大域的振舞いを調べることが研究対象です．この分野の研究は，関数解析学，フーリエ解析学，組合せ論、幾何学的観点を取り入れて進展しています．未解決の魅力ある問題が豊富に残っている研究分野です．

研究者基本情報

■ 学位
  • 博士（数理科学）, 東京大学
■ 研究キーワード
  • 偏微分方程式
■ 研究分野
  • 自然科学一般 / 数理解析学

研究活動情報

■ 論文
■ MISC
  • Energy transfer model and large periodic boundary value problem for the quintic NLS
    高岡 秀夫
    京都大学数理解析研究所, 2018年11月, 「数理解析研究所講究緑2093」, 2093(11月号) (11月号), 94 - 103, 日本語
    会議報告等

  • Hideo Takaoka
    2016年, COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 41(4) (4), 732 - 747, 英語
    機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等

  • フーリエ解析と微分方程式 : 周波数解析の視点から—特集 フーリエ解析の探究 : 現象,理論から普遍へ
    高岡 秀夫
    サイエンス社, 2015年11月, 数理科学, 53(11) (11), 36 - 42, 日本語

  • 無限次元微積分—特集 無限次元の魅力--諸分野を照らす多彩な舞台装置
    高岡 秀夫
    サイエンス社, 2010年01月, 数理科学, 48(1) (1), 49 - 54, 日本語

  • Stephen Gustafson, Hideo Takaoka, Tai-Peng Tsai
    2009年01月, JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS, 50(1) (1), 英語
    機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等

  • 非線形分散型波動方程式の大域解析
    高岡 秀夫
    日本数学会, 2008年10月, 数学 / 日本数学会 編, 60(4) (4), 337 - 351, 日本語

  • 高岡 秀夫
    一般社団法人 日本数学会, 2008年, 総合講演・企画特別講演アブストラクト, 2008(Spring-Meeting) (Spring-Meeting), 1 - 12, 日本語

  • テレンス・タオ—ICM関連企画--フィールズ賞業績紹介
    高岡 秀夫
    日本評論社, 2007年02月, 数学セミナー, 46(2) (2), 42 - 45, 日本語

  • On the infinite dimensional approximation of solution for the KdV equation on the torus
    高岡, 秀夫
    京都大学数理解析研究所, 2007年01月, 数理解析研究所講究録, 1529, 110 - 122, 日本語

  • Carlos E. Kenig, Hideo Takaoka
    2006年, International Mathematics Research Notices, 2006, 英語
    機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等

  • J Colliander, M Keel, G Staffilani, H Takaoka, T Tao
    2004年06月, JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS, 211(1) (1), 173 - 218, 英語
    機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等

  • Jim Colliander, Mark Keel, Gigliola Staffilani, Hideo Takaoka, Terry Tao
    We obtain global well-posedness, scattering, and global $L^{10}_{t,x}$
    spacetime bounds for energy-class solutions to the quintic defocusing
    Schr"odinger equation in $\R^{1+3}$, which is energy-critical. In particular,
    this establishes global existence of classical solutions. Our work extends the
    results of Bourgain and Grillakis, which handled the radial case. The method is
    similar in spirit to the induction-on-energy strategy of Bourgain, but we
    perform the induction analysis in both frequency space and physical space
    simultaneously, and replace the Morawetz inequality by an interaction variant.
    The principal advantage of the interaction Morawetz estimate is that it is not
    localized to the spatial origin and so is better able to handle nonradial
    solutions. In particular, this interaction estimate, together with an
    almost-conservation argument controlling the movement of $L^2$ mass in
    frequency space, rules out the possibility of energy concentration.
    2004年02月09日
    機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等

  • エネルギー空間より広い空間における非線形シュレディンガー方程式の散乱理論 (非線形波動および分散型方程式に関する研究)
    高岡, 秀夫
    京都大学数理解析研究所, 2004年01月, 数理解析研究所講究録, 1355, 107 - 116, 日本語

  • 掛谷問題のひろがり--非線形偏微分方程式の視点から—特集 掛谷の問題と実解析
    高岡 秀夫
    日本評論社, 2002年08月, 数学セミナー, 41(8) (8), 35 - 40, 日本語

  • Polynomial upper bounds for the orbital instability of the 1D cubic NLS below the energy norm
    Jim Colliander, Mark Keel, Gigliola Staffilani, Hideo Takaoka, Terence Tao
    We study the long-time behaviour of the focusing cubic NLS on $\R$ in the
    Sobolev norms $H^s$ for $0 < s < 1$. We obtain polynomial growth-type upper
    bounds on the $H^s$ norms, and also limit any orbital $H^s$ instability of the
    ground state to polynomial growth at worst; this is a partial analogue of the
    $H^1$ orbital stability result of Weinstein. In the sequel to this paper we
    generalize this result to other nonlinear Schr"odinger equations. Our
    arguments are based on the ``$I$-method'' from our earlier papers, which pushes
    down from the energy norm, as well as an ``upside-down $I$-method'' which
    pushes up from the $L^2$ norm.
    2002年06月21日, Discrete Contin. Dynam. Systems, 9, 31 - 54
    機関テクニカルレポート，技術報告書，プレプリント等

  • On global well-posedness of some nonlinear dispersive equations for rough data (Harmonic Analysis and Nonlinear P.D.E.)
    Takaoka, Hideo
    2001年04月, 1201, 83 - 95, 英語

  • Time local well-posedness for the KP II equation (Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations)
    Takakoka, Hideo
    1999年06月, 1102, 1 - 8, 英語

  • TIME LOCAL WELL-POSEDNESS FOR THE ZAKHAROV SYSTEM WITH THE PERIODIC BOUNDARY CONDITION (Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations)
    Takaoka, Hideo
    1998年08月, 1059, 74 - 88, 英語

■ 講演・口頭発表等
  • Energy cascades for resonant nonlinear Schrödinger equations
    高岡 秀夫
    九州関数方程式セミナー, 2019年01月, 日本語, 福岡大学, 国内会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Energy cascades for resonant nonlinear Schrödinger equations
    高岡 秀夫
    Nonlinear Dispersive Equations in Kumamoto, 2019, 2019年01月, 日本語, 熊本大学, 国内会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Energy transfer model for the resonant 1D quintic NLS
    高岡 秀夫
    Sixth Bielefeld-SNU Joint Workshop in Mathematics, 2018年03月, 英語, Seoul National University, 国際会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Energy transfer model and large periodic boundary value problem for the quintic NLS
    高岡 秀夫
    The 15th Linear and Nonlinear Waves, 2017年11月, 英語, 大阪大学, 国際会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Energy transfer model and large periodic boundary value problem for the quintic NLS
    高岡 秀夫
    Okayama Workshop on Partial Differential Equations, 2017年10月, 日本語, 岡山大学, 国内会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Energy transfer model and large periodic boundary value problem for the quintic NLS
    高岡 秀夫
    Nonlinear Wave and Dispersive Equations, 2017年08月, 英語, 京都大学, 国際会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Energy transfer model for the resonant nonlinear Schrödinger equations
    高岡 秀夫
    Workshop on linear and nonlinear dispersive equations and related topics, 2017年05月, 英語, 京都大学, 国際会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • 非線形シュレディンガー方程式に対する共鳴現象と解のダイナミクス
    高岡 秀夫
    談話会, 2017年04月, 日本語, 神戸大学, 国内会議
    口頭発表（一般）

  • Energy transfer for the resonant 1D quintic NLS with large periodic boundary condition
    高岡 秀夫
    解析セミナー, 2017年04月, 日本語, 神戸大学, 国内会議
    口頭発表（一般）

  • 非線形分散型波動方程式の大域解析
    高岡 秀夫
    2008年度日本数学会年会総合講演, 2008年03月, 日本語, 日本数学会, 近畿大学, 国内会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Bilinear Strichartz estimates and applications to 2D NLS
    高岡 秀夫
    Nonlinear Wave Equations, 2007年08月, 英語, 北海道大学・日本, 北海道大学・日本, 国際会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

  • Bilinear Strichartz estimates and applications to 2D NLS
    高岡 秀夫
    非線形波動および分散型方程式に関する研究, 2007年05月, 日本語, 京都大学数理解析研究所, 京都大学数理解析研究所, 国内会議
    [招待有り]
    口頭発表（招待・特別）

■ 所属学協会
  • 日本数学会

■ 共同研究・競争的資金等の研究課題
  • 高岡 秀夫
    科学研究費補助金／基盤研究(B), 2018年04月 - 2023年03月, 研究代表者
    競争的資金

  • 高岡 秀夫
    科学研究費一部基金／基盤研究(B), 2013年04月 - 2018年03月, 研究代表者
    競争的資金

  • 非線形発展方程式の凝縮現象と解の構造
    堤 誉志雄, 岡本 久, 中西 賢次, 澤野 嘉宏, 岸本 展, 高岡 秀夫, 溝口 紀子, 前田 昌也, 加藤 孝盛, 宮路 智行, 佐々木 洋平
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(S), 京都大学, 2011年04月01日 - 2016年03月31日
    非線形波動・分散型方程式に対して，中西はSchlagとともに，不安定な基底状態解の近傍から出発する解の大域的挙動を完全に決定することに成功した．従来，基底状態より高いエネルギー準位を持つ解については，ほとんど先行研究はなかったため大きな進展である．堤は吉川との共同研究により，形状記憶合金の等温Falkモデルに対して，2種類の不変測度を構成して比較した．岡本は東海林との共同研究で，張力重力波のストークスドリフトと呼ばれる現象を，数学的に解析するとともに数値計算により調べた．岡本と東海林は，張力重力波の場合でも，粒子運動の軌跡が閉曲線とならないことを複素函数論的な手法で証明した．

  • 非線形波動・分散型方程式の幾何学的対称性と解の構造
    堤 誉志雄, 重川 一郎, 國府 寛司, 西和田 公正, 中西 賢次, 大鍛治 龍司, 太田 雅人, 高岡 秀夫, 津川 光太郎, 太田 雅人, 高岡 秀夫, 津川 光太郎
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 京都大学, 2007年 - 2010年
    研究成果は以下の3つである.(1)調和写像熱流, Landau-Lifshitz方程式やシュレディンガー写像に対し,渦解の安定性・不安定性の結果を得た.(2)べき乗型非線形性を持つシュレディンガー方程式に対し,初期値問題の解の無条件一意性を示した.(3)減衰項と外力の付いた非線形シュレディンガー方程式である, Lugiato-Lefever方程式に対し,定数定常解からの分岐問題を解析し,定常解の線形安定性と線形不安定性に関する結果を得た.

  • 内藤 雄基
    科学研究費補助金／基盤研究(C), 2008年
    競争的資金

  • 足立 匡義
    科学研究費補助金／基盤研究(C), 2008年
    競争的資金

  • 非線形発展方程式の幾何学的対称性と解の構造
    堤 誉志雄, 國府 寛司, 中西 賢次, 太田 雅人, 水町 徹, 高岡 秀夫, 井川 満, 高木 泉, 小薗 英雄
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 2003年 - 2006年
    平成15〜16年度は,修正KdV方程式の初期境界値問題の適切性を周期境界条件の下で研究した.1993年にBourgainは初期境界値問題の局所適切性を$H^s$, s≧1/2の空間で証明した.高岡と堤は$H^s$, s≧1/2と$H^s$, s<1/2の場合の相違点を詳しく調べ,1/2>s>1/3でも局所適切であることを示した.しかし,この場合は初期値に関する解の連続依存性は成立するが,非線形効果による振動によって一様連続とならなりことも示した. 平成17年度堤は,空間2次元において2次の非線形性を持つ非線形シュレディンガー方程式の時刻無限大での解の漸近挙動を下村明洋とともに研究した.空間2次元の場合,2次の非線形性は短距離型相互作用と長距離型相互作用の境目に当たるため,非線形散乱理論の立場からは非常に興味深い問題である.非線形項が解の絶対値の2乗である場合,解は通常の意味では自由解には漸近しないことを示した.他の2次の非線形性は短距離型相互作用として働くことが知られており,その対比としても興味深い結果である. 平成18年度堤は,べき乗型非線形シュレディンガー方程式の初期値問題に対する解の無条件一意性(unconditonal uniqueness)を研究した.非線型シュレディンガー方程式においては,解のクラスは初期値が属する関数空間だけではなく,ストリッカーツ評価式から定まる時空可積分空間に属することを過程するのが普通である.後者の空間は補助空間と呼ばれ,その補助空間は一般的には解の構成法に依存する.従って,解の構成法に依存しない,すなわち解が補助空間に属することを仮定しないで一意性が成立するかどうかはきわめて自然な問題である.このような意味での解の一意性を,無条件一意性という.無条件一意性の先行結果としては,加藤敏夫やFurioli and Terraneoの論文があるが,彼らは解の属する関数空間がスケール変換に関して劣臨界の場合(subcritival case)を扱っており,臨界の場合(critical case)の研究はほとんど無かった.今回,Furioli and Terraneoの証明方法を改良することにより,彼らの結果を臨界空間の場合に拡張することに成功した.

  • 高岡 秀夫
    科学研究費補助金／若手研究(B), 2006年, 研究代表者
    競争的資金

  • 非線形分散型方程式の初期値問題の適切性および大域挙動に関する解析的研究
    高岡 秀夫
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(B), 神戸大学, 2003年 - 2005年
    本年度は、非線形分散型波動現象を記述する非線形シュレディンガー方程式に対して、偏微分方程式論の立場から初期値問題の可解性を研究した。具体的には、プラズマ物理における数学モデルとしても登場する5次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式を考えた。トーラス上の初期値問題に対して、最近Bourgainは微分可能指数が1/2よりも小さいSobolev空間で時間大域解の存在定理が成り立つことを証明している。この空間は、不変測度が得られる関数空間として働き、時間大域解の漸近挙動を調べる上でも重要な結果と思われる。一方、全空間の初期値問題に対しては、同一なSobolev空間において時間大域可解性が示されているものの、それよりも小さい微分可能指数での実現の成否は分かっていなかった。全空間とトーラスという設定構造の相違が、解の特異性と非線形相互作用にどのように作用し、初期値問題の適切性にどのような現象を生じるか調べることは興味深い。 フーリエ空間による考察から、非線形相互作用によって周波数の停滞する項が現れることが分かり、先行の解の関数空間はその項の処理に依存していた。トーラス上の初期値問題では、解の関数空間に解自身に依存する構造を取り入れ、問題となる停滞項を取り除くことが行われたが、全空間の場合はそれが連続的であり、トーラス上の問題と同様な処理は困難と思われる。今回は、平滑効果を導く新しい3線形評価式を示すことからその様な周波数の停滞は瞬時に起こることを示し、時間大域解の存在証明に対して微分可能回数がこれまでよりも小さい関数空間で評価できる証明を与えた。如何に時間局所解が大域的に延長されるかは未解決として残っているが、他の方程式への応用は十分期待される。この成果は論文として現在取りまとめている。

  • 波動場の幾何と解析
    小澤 徹, 中村 玄, 堤 誉志雄, 林 仲夫, 中西 賢次, 高岡 秀夫, 利根川 吉廣
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 北海道大学, 2001年 - 2003年
    本研究では、非線型シュレディンガー方程式やKdV方程式を始めとする非線型分散方程式、非線型波動方程式や非線型クライン・ゴルドン方程式を始めとする非線型双曲型方程式、および非線型ディラック方程式の様な方程式系について、相互作用の幾何学的・解析学的研究を通して、解の様々な時空大域的振舞いを解明する事が出来た。 非線型シュレディンガー方程式では、空間3次元、反撥型非線型項の下でエネルギー散乱の漸近完全性を証明した。データが小さい場合の散乱理論については、空間次元、ソボレフ指数、非線型項の斉次冪の三者間の成す臨界等式の下で成立する事が、非線型シュレディンガー方程式の場合には良く知られていたが、本研究では斉次冪でない場合にも拡張できる事を示した。この考え方を推し進めて、小さなデータで非斉次相互作用の場合の散乱理論を非線型波動方程式、非線型クライン・ゴルドン方程式、非線型シュレデインガー方程式、非線型ディラック方程式について、統一的に論じる事に成功した。 本研究では、シュレディンガー方程式の様な非相対論的方程式を相対論的方程式の光速無限大に於る極限方程式と見做す為の数学的基礎づけも行なった。特にクライン・ゴルドン複素スカラー場に位相変調とスケール変換を施し光速を無限大にした場がシュレディンガー場である事をエネルギー空間H^1(R^3)の枠組で証明した。同様な試みは、ディラック場でH^3(R^3)【cross product】C^4(s>1)の枠組で完成したが、臨界の場合(s=1)ではどうなるのか現在の所不明である。 また、スケール不変性を持つ波動場は、ミンコフスキ空間で特別な幾何学的特徴を持っているが、解析的には原点、無限遠点、光錐曲面上の特異性によりその取扱いが大変困難であった。本研究では、その困難を時空の重み付き弱ルベーグ空間を導入する事で効率的に制御する事が出来た。

  • 非線形分散型方程式の初期値問題の可解性とその解の性質について
    高岡 秀夫
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(B), 2001年 - 2002年
    偏微分方程式論の関数解析的研究の立場から、特にKdV方程式や非線形シュレディンガー方程式などの非線形分散型波動方程式の数学解析を行った。分散型方程式において、解の特異性がどのように非線形相互作用するかを調べることは重要な研究である。その研究成果の一端として最近、非線形分散型波動方程式について、十分な滑らかさを伴わない初期値でも解の存在定理やその解の性質を調べることが行われ、その研究の概観作りがなされつつある。その中で本年度の研究は、周期境界値条件における修正KdV方程式と空間3次元の非線形シュレディンガー方程式に対して、方程式の初期値問題の適切性が数学的にどのように実現され得るかに着目し非線形問題の理解を目指した。 周期境界値条件における修正KdV方程式に対して、初期値に対応する特解の周りで解の摂動問題を考え、これまでに捉えきれなかった解の存在定理を証明した。この証明法は方程式の幾何学的対称性を用いて方程式の性質を調べることとも密接な関係があり、他の方程式の同様な問題に対する適用範囲の拡大が期待される。空間3次元の非線形シュレディンガー方程式に対しては、既知とされる時間局所解の研究を出発点とし、解の延長問題とその大域的挙動の問題が検討された。解の接続問題を扱うところではこれまでに確立したエネルギー輸送という方法論の適用を行ったが、更にここでは新しいタイプのエネルギー減衰評価式を提出し、この2つの議論の融合から波の散乱現象の実現を成功させ、時刻無限大で解は自由解に近づくことを証明した。これらの研究成果については論文として現在執筆中である。 最後に、今年度の研究課題を遂行するにあたって、昨年度と同様に国内外への研究調査費、図書費、文具費ならび謝金として研究補助金が有効に使用されたことを報告する。

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