SEARCH
検索詳細
影山 康夫大学院海事科学研究科 海事科学専攻講師
研究活動情報
■ 論文- In general, zeros of a Lagrange interpolation polynomial can be calculated only numerically, but if the interpolated function is given as the form 1/(z-c) and the sampling points are equally distributed on an ellipse, then the zeros can be represented explicitly and they are also equally distributed on an ellipse of common foci. We will show this fact and prove a theorem that presents a sufficient condition for this method to be generalized.一般社団法人 日本応用数理学会, 2003年09月, 日本応用数理学会論文誌, 13(3) (3), 391 - 402, 日本語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2002年12月, Analysis, Combinatorics and Computing, 265 - 274, 英語Generalization of the Bernstein operator[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- In a former paper, Inoue introduced an interpolation based on a scheme in the charge simulation method, but he did not mention the problem whether the coefficient matrix derived there is regular or not. We will first point out unnaturalness of his scheme and introduce another interpolation based on so-called Murota's invariant scheme, which is a slightly modified version of Inoue's scheme. Then we will guarantee that the coefficient matrix for our scheme is always regular.一般社団法人 日本応用数理学会, 2001年12月, 日本応用数理学会論文誌, 11(4) (4), 171 - 177, 日本語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1999年11月, JOURNAL OF APPROXIMATION THEORY, 101(1) (1), 121 - 147, 英語A new class of modified Bernstein operators[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1998年08月, JOURNAL OF APPROXIMATION THEORY, 94(2) (2), 306 - 329, 英語Generalization of the left Bernstein quasi-interpolants[査読有り]研究論文（学術雑誌）
■ 書籍等出版物
- その他, 関西学院大学出版会, 2009年06月, 日本語, 「等間隔標本点を用いた多項式近似は実用にならない」という従来の常識に対し，「収束精度・数値的安定性・計算量の観点からみて実用的な近似法が存在する」という新たな知見を提示した．現代数理入門（第９章担当）学術書
■ 共同研究・競争的資金等の研究課題
- 日本学術振興会, 科学研究費補助金／基盤研究(C), 基盤研究(C), 神戸大学, 2005年 - 2007年石井は平均曲率流に対する近似問題について研究した。1992年にBence,Meriman,Osherによって提案された平均曲率流の近似アルゴリズムについて、このアルゴリズムから平均曲率流方程式を直接導くような収束の証明を与えた。また、滑らかでコンパクトな平均曲率流に対して最良誤差評価を与えた。更に、Allen-Cahn方程式と呼ばれる非線形放物型方程式を用いて滑らかでコンパクトな平均曲率流の近似した際の最良誤差評価を導いた。 丸尾は半線形楕円型方程式に対する非有界で球対称な粘性解の構造を空間遠方での漸近挙動に応じて完全に決定した。 内藤はべきの非線形項をもつ半線形放物型方程式に対してその自己相似解を詳細に調べ、初期値問題の解が自己相似解に漸近することを示した。また、非線形項の指数がソボレフ臨界指数のとき、Type II爆発を起こすような解が存在するための1つの十分条件を与えた。更に半線形楕円型方程式に対する解の多重存在についても研究した。 桑村は勾配・歪勾配構造をもつ反応拡散方程式系について研究した。この構造をもつ反応拡散方程式はハミルトン構造という解析力学の基本的形式を備えていることに注目し、Turing安定性による非自明な空間周期的なパターンが存在するための必要条件を得た。また、温暖化に伴う環境変化に対して、時間遅れを含む微分方程式によるモデル化を行った。 足立はN体Stark Hamiltonianに対して、極限吸収原理として知られているレゾルベント評価を、配位空間における局所化を用いて改良した。競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(C), 2005年競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 2002年 - 2004年粘性解理論の特異摂動問題への応用に関する研究研究代表者の石井はBence, Merriman, Osherによって考案された平均曲率流の近似計算アルゴリズム(BMOアルゴリズムと呼ぶことにする)について研究し、以下のような結果を得た。 1.BMOアルゴリズムの数学的な正当性の証明は過去にも多くの数学者によって証明されているが、それらは等高面の方法と呼ばれる、平均曲率流を間接的に扱う方法を基にしている。石井はAllen-Cahn方程式に対する漸近解析の方法と符号付き距離関数を用いて、BMOアルゴリズムから直接的に平均曲率流方程式を導くような収束の証明を与えた(後藤陽子、小川卓克両氏との共同研究)。この結果はCommunications on Pure and Applied Analysisに掲載されることが決まっている。 2.BMOアルゴリズムの収束の速さに関してはあまり結果が無かった。そこで、コンパクトで滑らかな平均曲率流の場合に収束の速さを求め、それが最良であることを平面における円周の場合に示した。この結果はSIAM Journal of Mathematical Analysisに掲載されることが決まっている。 分担者の丸尾は平面における半線形退化楕円型偏微分方程式について研究し、以下の結果を得た。 3.方程式の係数が球対称で、無限遠方で適当な増大条件を満たすとき、その方程式の連続な粘性解は必ず球対称になる。この結果はAdvances in Mathematical Sciences and Applicationsに掲載された。 分担者の影山は関数近似理論で用いられる、修正Bernstein多項式の収束の速さや零点の分布等の詳しい性質を研究中である。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 若手研究(B), 神戸大学(海事科学部), 2002年 - 2003年関数近似の新しい手法の開発1.代用電荷法は、一種の「radial basis function」による関数近似法と見なすことができる。そして、代用電荷法における電荷点配置問題が、関数1/(z-c)に対するLagrange補間多項式の零点分布と関連があるように思えるため、これについて詳しく研究した。まだ発展の余地はあるが、標本点が楕円上に等間隔に配置されている場合については顕著な結果を導くことができたので、昨年度、それを中心とした論文「関数1/(z-c)のLagrange補間多項式の零点に関する一考察」を日本応用数理学会論文誌に投稿し、今年度、掲載された。 2.Bernstein作用素は代数多項式で表現され、形状保存性を持つ線形近似作用素の中で(ある意味で)最良であることが知られている.そこで、この代数多項式に関する結果に対し、三角多項式で表現される正線形近似作用素に関しても、何らかの最適化問題を考察することができるだろうという着想を得た。そして実際、その最適化問題を定式化した上で「Fejer-Korovkin作用素」と呼ばれるものが最良であるという結果を導くことができた。この結果に対し、Fourier級数・Fourier積分・離散Fourier変換との関連や物理的意味等について、現在研究している最中であり、結果がまとまり次第、Journal of Approximation Theoryのような専門誌に投稿する予定である。 3.他にも、「最良の関数近似法は何か」という問題に対し、様々なアイディアや手法を発見した。まだ、それらを具体化する段階には至っていないが、今後順調に事が運べば非常に意義深い成果を出すことができそうだという手応えを得ている。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸商船大学, 1998年 - 1999年関数解析の手法を用いた粘性解の研究球対称な係数を持つ非線形退化楕円境界値問題についてその連続な粘性解は存在し球対称解に限るか否か、を中心に研究を行った。われわれの考察した偏微分方程式は次のような形をしている。 -g(|x|)Δu+f(|x|,u)=0 ここでg(|x|),f(|x|,u)は連続,gは非負な関数で,fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。 まず有界な領域において考察した。新しくstandard viscosity solution(g=0なるxに対してu(x)=ρ(x)すなわちf(|x|,u(x))=0)という概念を導入し、この解に限れば解は存在し球対称解に限ることが証明された。また、上の条件に加えgにある積分条件(gの零点を含むいかなる近傍においてもg^<-1>の積分は発散する)を課すと、連続な粘性解は一意に存在しその解は球対称解であることが示せた。またこの条件は、連続な粘性解は一意に存在するための必要十分な条件であることも示すことができ、連続な粘性解が球対称解のみであるための条件に関してこのTypeの方程式では我々の条件がぎりぎりの条件であると考えている。ただし、領域は、有界なn次元球である。 次に非有界な領域において、無限遠点における境界条件満たす連続で非有界な粘性解の考察した。連続な粘性解が存在するか否か(存在しない境界条件もある)一意はどうか、またその解は球対称解であるか否かの問題に対し、無限遠点における解の状態を位数で分類することにより、明らかにした。ただし、この場合においては、g,fに十分な滑らかさを仮定している。 また準線形半線形退化楕円境界値問題についても考察した。ここでは、g(|x|,u),f(|x|,u)は連続、gは非負な関数で、fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。また連続な陰関数が存在しその関数にある意味での滑らかさを仮定した。このとき連続な球対称な粘性解の存在を保証した。しかしまだ一意性は保証されていなくこれからの問題である。これらの研究をするにあたり、常微分方程式の解の存在定理、また構造定理が大変有効な手段となり、特に,gの零点付近の解折が大変役立った。また、劣粘性解、優粘性解に関する比較定理が大変有効に働いた。