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吉岡 康太大学院理学研究科 数学専攻教授
研究活動情報
■ 論文- Elsevier BV, 2024年11月, Journal of Algebra, 658, 415 - 449, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2023年12月, Mathematische Zeitschrift, 306(1) (1), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Elsevier BV, 2023年08月, Advances in Mathematics, 426, 109102 - 109102, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2023年05月, Geometriae Dedicata, 217(3) (3), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2023年04月, manuscripta mathematica, 173(1-2) (1-2), 727 - 751, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Tokyo Journal of Mathematics, 2022年12月, Tokyo Journal of Mathematics, 45(2) (2), 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2021年05月, Archiv der Mathematik, 116(5) (5), 529 - 539, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2020年10月, Adv. Math., 372, 107283, 119pp, 英語MMP via wall-crossing for moduli spaces of stable sheaves on an Enriques surface.[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2020年08月, J. Algebra, 556, 448 - 466, 英語Categorical entropy for Fourier-Mukai transforms on generic abelian surfaces.[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2020年04月, Math. Z., 294(3-4) (3-4), 871 - 880, 英語Derived equivalent Hilbert schemes of points on K3 surfaces which are not birational.[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Duke University Press, 2018年12月, Kyoto Journal of Mathematics, 58(4) (4), 865914, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2018年02月, J. reine angew. Math, 735, 1 - 107, 英語The wall-crossing behavior for Bridgeland's stability conditions on abelian and K3 surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2017年12月, J. Geometry and Physics, 122, 103 - 118, 英語Fourier-Mukai duality for K3 surfaces via Bridgeland stability condition[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2017年09月, Tohoku Math. J, 69(3) (3), 369 - 382, 英語A note on stable sheaves on Enriques surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2017年05月, MANUSCRIPTA MATHEMATICA, 153(1-2) (1-2), 147 - 158, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2017年, JOURNAL OF ALGEBRAIC GEOMETRY, 26(3) (3), 475 - 511, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2016年, DEVELOPMENT OF MODULI THEORY - KYOTO 2013, Adv. Stud. Pure Math., 69, 473 - 537, 英語Bridgeland's stability and the positive cone of the moduli spaces of stable objects on an abelian surface.[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- 2015年12月, Int. Math. Res. Not. IMRN 2015, 24, 13563 - -13574, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2015年06月, KYOTO JOURNAL OF MATHEMATICS, 55(2) (2), 365 - 459, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2014年11月, Int. Math. Res. Not. IMRN 2014, 19, 5264 - 5327, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2014年02月, Math.Z., 276, 571 - 610, 英語Bridgeland's stabilities onabelian surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2013年11月, J. reine angew. Math., 684, 31 - 86, 英語Semi-homogeneous sheaves, Fourier-Mukaitransforms and moduli of stablesheaves on Abelian surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2013年05月, Kyoto J. of Math., 53, 261 - 344, 英語Perverse coherent sheaves and Fourier-Mukai transformson surfaces I[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Tokyo Journal of Mathematics, 2011年12月, Tokyo Journal of Mathematics, 34(2) (2), 473 - 491, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2011年, Adv. Stud. Pure Math., 61, 349 - 386, 英語Perverse coherent sheaves on blow-up. I. A quiver description.[査読有り]
- Duke University Press, 2011年01月, Kyoto Journal of Mathematics, 51(2) (2), 263 - 335, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- American Mathematical Society, 2011年01月, Journal of Algebraic Geometry, 20(1) (1), 47 - 100, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年01月, Publ.Res.Inst.Math.Sci., 47(1) (1), 307 - 359, 英語Donaldson = Seiberg-Witten from Mochizuki's formula and instanton counting[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年, Sugaku Expositions, 23(2) (2), 189 - 212, 英語Instanton counting and Donaldson invariants[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2010年, SAPPORO 2007: ALGEBRAIC AND ARITHMETIC STRUCTURES OF MODULI SPACES, 58, 403 - 459, 英語An action of a Lie algebra on the homology groups of moduli spaces of stable sheaves[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- Springer Science and Business Media LLC, 2009年11月, Mathematische Annalen, 345(3) (3), 493 - 524, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- International Press of Boston, 2009年, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 5(3) (3), 1029 - 1112, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Wiley, 2009年01月, Compositio Mathematica, 145(1) (1), 112 - 142, 英語
Abstract We consider the problem of preservation of stability under the Fourier–Mukai transform ℱℰ:D (X )→D (Y ) on an abelian surface and aK 3 surface. IfY is the moduli space ofμ -stable sheaves onX with respect to a polarizationH , we have a canonical polarization$\widehat {H}$ Y and we have a correspondence between (X ,H ) and$(Y,\widehat {H})$ X is sufficiently large.[査読有り]研究論文（学術雑誌） - Springer Science and Business Media LLC, 2008年06月, manuscripta mathematica, 126(2) (2), 143 - 166, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2008年, J. Differential Geom., 80(3) (3), 343 - 390, 英語Instanton counting and Donaldson invariants[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2007年, Sugaku Expositions, 20(1) (1), 115 - 135, 英語Moduli of vector bundles on algebraic surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2007年, 数学, 2, 131 - 153, 日本語インスタントンの数え上げとDonaldson不変量
- Math. Soc. Japan, 2006年, Moduli spaces and arithmetic geometry, 45, 1 - 42, 英語[査読有り]研究論文（国際会議プロシーディングス）
- Springer Science and Business Media LLC, 2005年11月, Inventiones mathematicae, 162(2) (2), 313 - 355, 英語研究論文（学術雑誌）
- 2005年05月, Transformation Groups, 20(3-4) (3-4), 489 - 519, 英語Instanton counting on blowup. II. K-theoretic partition function[査読有り]
- The Mathematical Society of Japan, 2004年07月, 数学, 56(3) (3), 225 - 247, 日本語
- 2004年, CRM Workshop on Algebraic Structures and Moduli Spaces, CRM Proc. Lecture Notes, 38, 31 - 101, 英語Lectures on instanton counting[査読有り]
- Springer Science and Business Media LLC, 2003年12月, Math. Z., 245(4) (4), 657 - 665, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- We consider the singuralities of 2-dimensional moduli spaces of semi-stable sheaves on k3 surfaces. We show that the moduli space is normal, in particular the siguralities are rational double points. We also describe the exceptional locus on the resolution in terms of exceptional sheaves.World Scientific Pub Co Pte Lt, 2003年10月, International Journal of Mathematics, 14(08) (08), 837 - 864, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2003年04月, Manuscripta Math., 110(4) (4), 433 - 465, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Duke University Press, 2003年01月, Kyoto Journal of Mathematics, 43(1) (1), 139 - 163, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Cambridge University Press (CUP), 2003年, Compositio Math, 138(3) (3), 261 - 288, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 2001年12月, Math. Ann., 321(4) (4), 817 - 884, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 2001年01月, 数理解析研究所講究録, 1232, 109 - 124, 英語Brill-Noether problem for sheaves on K3 surfaces (Proceedings of the Workshop "Algebraic Geometry and Integrable Systems related to String Theory")[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- International Press of Boston, 2000年02月, Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 4(2) (2), 397 - 485, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Walter de Gruyter GmbH, 1999年10月, J. Reine Angew. Math., 1999(515) (515), 97 - 123, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 名古屋大学, 1999年, Nagoya mathematical journal, 154, 73 - 102, 英語Some notes on the moduli of stable sheaves on elliptic surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1999年, Communications in mathematical physics, 205, 501 - 517, 英語Euler characteristics of SU(2) instanton moduli spaces on rational elliptic surfaces[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Walter de Gruyter GmbH, 1998年03月, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1998(496) (496), 149 - 161, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- World Scientific Pub Co Pte Lt, 1996年12月, International Journal of Mathematics, 07(06) (06), 843 - 858, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- World Scientific Pub Co Pte Lt, 1996年06月, International Journal of Mathematics, 07(03) (03), 411 - 431, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1996年, Moduli of vector bundles (Sanda, 1994; Kyoto, 1994), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 179, 297 - 305, 英語Numbers of Fq-rational points of the moduli of stable sheaves on elliptic surfaces.[査読有り]
- Duke University Press, 1996年01月, Kyoto Journal of Mathematics, 36(2) (2), 279 - 309, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- Springer Science and Business Media LLC, 1995年05月, Mathematische Annalen, 302(1) (1), 519 - 540, 英語[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 1994年, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 453, 193 - 220, 英語The Betti numbers of the moduli space of stable sheaves of rank2 on P2.[査読有り]研究論文（学術雑誌）
- 東京大学, 2014年09月, 第59回代数学シンポジウム報告集, 54 - 66, 日本語Vector bundles on algebraic surfaces記事・総説・解説・論説等（その他）
- 京都大学数理解析研究所, 2014年, 2014 年度代数幾何学シンポジウム報告集, 2014, 3 - 11, 英語Examples of movable divisors on a generalized Kummer variety and an application[査読有り]記事・総説・解説・論説等（その他）
- 京都大学, 2011年03月, 数理解析研究所講究録, 1731, 162 - 174, 英語Problems on holomorphic vector bundles on complex manifolds (複素幾何学の諸問題--RIMS共同研究報告集)
- 京都大学数理解析研究所, 1992年, 代数幾何学シンポジューム記録, 1992, 40 - 54, 日本語The Betti numbers of the moduli space of stable sheaves of rank 2 on Pⁿ
- UNIBO Seminar, 2024年10月, 英語Moduli of stable vector bundles on abelian surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- One-day workshop "Bundles and lattices", 2024年08月aCM bundles on a generic K3 surface of degree 2[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第3回仙台保型形式小集会 「保型形式, 代数幾何, (保型)微分作用素、頂点作用素代数」, 2024年02月, 日本語アーベル曲面上の安定ベクトル束[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Gauge Theory, Moduli Spaces and Representation Theory, Kyoto 2023 In honor of the 60th birthday of Hiraku Nakajima, 2023年02月, 英語Moduli of stable sheaves on an elliptic surface口頭発表（招待・特別）
- Japanese-European Symposium on symplectic varieties and moduli spaces, 2022年03月, 英語Moduli of stable sheaves on an abelian surface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 第17回代数・解析・幾何学セミナー, 2022年02月, 日本語楕円曲面上の安定層のモジュライ空間[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Workshop in honour of Lothar Gottsche's 60th birthday,, 2021年12月, 英語Moduli of stable sheaves on an elliptic surface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Categorical and Analytic Invariants in Algebraic Geometry VII, 2019年11月, 英語, 大阪大学理学部Weak Brill-Noether for the moduli of stable sheaves on a generic K3 surface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- School and Workshop on Gauge Theories and Differential Invariants ICTP Italy, 2019年10月, 英語Moduli of stable sheaves on Enriques surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- fourth Japanese-European Symposium on Symplectic Varieties and Moduli Spaces, 2019年10月, 英語Weak Brill-Noether for the moduli of stable sheaves on a generic K3 surface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Algebraic Geometry and Moduli Theory, 2019年03月, 英語, 京都大学数理解析研究所, 国際会議Weak Brill-Noether for the moduli of stable sheaves on a generic K3 surface[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Japanese-Europian Symposium on Symplectic Varieties and Moduli Space, 英語, Levico-Terme (Italy), イタリア共和国Moduli of stable sheaves on Enriques surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- Derived category and birational geometry, 2017年02月, 大阪大学, 日本国Categorical entropy for Fourier-Mukai transforms on generic abelian surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 代数的層のモジュライの研究とその周辺, 2017年02月, 京都大学数理解析研究所, 日本国Vector bundles on Enriques surfaces[招待有り]
- Derived categories and Chow groups of hyperkaehler and Calabi-Yau varieties, 2016年09月, 英語, Simons center for geometry and physics, Stony Brook, New York (U.S.A.), アメリカ合衆国, 国際会議Moduli spaces of stable sheaves on Enriques surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 高次元代数幾何とその周辺, 2016年02月, 英語, 神戸大学, 日本国Stable sheaves on Enriques surfaces[招待有り]
- Vector bundles on algebraic curves 2015, 2015年06月, 英語, Warwick University, グレートブリテン・北アイルランド連合王国(英国), 国際会議Fourier-Mukai duality for K3 surfaces[招待有り]口頭発表（招待・特別）
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 神戸学院大学, 2022年04月01日 - 2027年03月31日代数幾何と可積分系の融合 - モジュライ理論とパンルヴェ型方程式
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2023年04月01日 - 2026年03月31日安定層のモジュライ空間の研究代数多様体上の安定層のコホモロジー群は底空間の性質を反映し、また安定層のモジュライ空間の性質を理解する上でも重要な対象である。これまでの研究においてはしばしば曲面のピカール数を1に制限した。それにより代数多様体の変形によらない性質等が得られた。一方標準因子が数値的に自明な曲面の場合、この制限は大きな制約となる。そこでR5年度はピカール数が1でない場合の曲面として、楕円曲線の直積などのアーベル曲面の場合に安定層のモジュライ空間の性質を調べた。とくにnon-isogeneousである楕円曲線の直積について、モジュライ空間の一般元について、そのコホモロジー群がリーマンロッホの定理から期待されるふるまいをすること、すなわちweak Brill-Noether性が成り立つことを確かめることができた。モジュライ空間を調べるのに、ピカール数が2以上の場合、ample錐の形の複雑さが解析を困難にする。そこで安定性の偏極への依存性について、既存の結果等と比較しながら研究を進めた。これはIzzet Coskun (University of Illinois Chicago, USA)とHoward Nuer (Technion, Israel Institute of Technology)との共同研究である。
楕円曲面上の層に対し、相対的フーリエ向井変換と相性が良い安定性を導入できるが、この安定性がある種の条件のもと相対的フーリエ向井変換で保たれることを確かめた。 - 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 京都大学, 2021年04月05日 - 2026年03月31日シンプレクティック代数幾何とモジュライ空間
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2018年04月 - 2023年03月, 研究代表者競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(S), 2017年04月 - 2022年03月競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(A), 2017年04月 - 2022年03月競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2014年04月 - 2018年03月, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 京都大学, 2011年04月01日 - 2016年03月31日インスタントンのモジュライ空間の幾何と表現論物理学者の Alday-Gaiotto-立川によって、ゲージ理論とW代数との対応が発見された。これを、数学的に厳密な立場から「インスタントンの枠付きモジュライ空間の上で、同変コホモロジー群を考えると、それがW 代数の表現の構造を持ち、様々なコホモロジー類が、W 代数の頂点作用素などを用いて書き下される」と理解し、これに関連した研究を行った。特に、Braverman-Finkelbergとの共同研究で、ADE型のインスタントンの枠付きモジュライ空間のUhlenbeck部分コンパクト化の同変交叉コホモロジーに期待される表現の構造を定義した。
- 科学研究費補助金／基盤研究(S), 2012年06月 - 2016年03月競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(A), 2012年04月 - 2016年03月競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 京都大学, 2010年04月01日 - 2015年03月31日モジュライ空間と算術多様体の幾何の構築と展開６つのグループにおけるモジュライ空間と算術多様体に関する幾何の構築と展開は世界的な業績を上げたと言える．例えば，分担者の望月拓郎は2014年のソウルにおける世界数学者会議において名誉ある全体会議の招待講演者に選ばれ，最近の成果の発表を行った．また，本研究費で進めたパリ・バルセロナ・京都を中心とする都市間国際シンポジウムは毎年順調に開催され，国際共同研究に繋がっている．例えば，研究代表者の森脇とグルノーブル大学フーリエ研究所のChen氏の共同研究の成果は本としてまとめられつつある．
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 京都大学, 2007年 - 2010年箙多様体の幾何学と表現論代数曲面を一点でブローアップした曲面を考える。このとき、その連接層の導来圏の中のアーベル圏として、偏屈連接層の圏と呼ぶものを、連携研究者の吉岡とともに定義し、そのモジュライ空間の研究を行った。応用として、ドナルドソン不変量とサイバーグ・ウィッテン不変量が等価である、というウィッテンの予想を、さらにGottscheを加えた共同研究で代数曲面の場合に肯定的に解決した。
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2010年, 研究代表者競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 名古屋大学, 2006年 - 2009年格子、保型形式とモジュライ空間の研究いくつかの方程式の零点の集まりとして定まる図形(代数多様体)の構造や対称性および図形のある種の分類(モジュライ空間)を行うことが本研究課題の目的であった。このための研究手段として格子理論(座標平面の整数点の集合の一般化)やある種の不変性を持った関数等(保型関数、保型形式)を用いることが本研究の特色である。近年、興味が持たれているK3曲面と呼ばれる代数多様体や関連する代数多様体の対称性およびモジュライ空間の記述で成果が得られた。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 京都大学, 2005年 - 2008年ファノ多様体とモジュライ空間-フェアリンデ公式とヒルベルト第14問題を中心にして代数多様体の中には、曲線、K3曲面とファノ多様体という3つの良い族がある.これらは単独でも興味深いが、互いにモジュライという関係で繋がっていることを観察することによって、より深い理解に到達できると思う.今回の研究課題では、フェアリンデ型公式との関係や不変式環への応用から研究を始めて、エンリケス曲面の位数2のある種の自己同型や偏極K3曲面のモジュライの単有理性問題への応用を研究した.また、Mumfordのpathologyとして有名な現象をよく理解するために、3次元多様体内の曲線の変形に対する障害類が消えないための充分条件についても研究した.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(A), 北海道大学, 2004年 - 2007年モジュライ空間の大域的幾何学(1)中村 郁は,2次元マッカイ対応について研究した.表現の普遍加群$V$および$V^+$が単純な分解を持つことを証明した.この結果,マッカイ対応は,軌道のモジュライ空間の観点からも,完全に既約表現の同値類と拡大ディンキン図形の対応を与える,論文は印刷中.また,擬アーベル多様体について重要な消滅定理を証明した. (2)Weng,Linはガロア群が非可換の場合には,Mumfordの安定性とSeshadri-Narashimanのユニタリ束の理論の類似が,類体論のモデルを与えるという(自ら提唱する)指導原理にしたがって,非可換L関数の理論を構築した.また,アデール群に関する裁断した基本領域の体積を求めた. (3)加藤文元は,p-進幾何学やリジッド幾何学について,藤原一宏とともに基本的な理論を構築しつつある. Mumford擬射影平面やそのほかの擬射影平面が,志村曲面であることを示した. (4)金銅誠之は,射影直線の順序付き8点のモジュライの5次元複素超球での一意化をK3曲面の周期理論を用いて構成し,さらにモジュライの埋め込みをBorcherdsの保型形式を用いて記述した. (5)松本圭司は実解析的テータ関数を用いて,あるリンクのS3の補集合のユークリッド空間への埋め込みを,具体的精密に与えた. (6)吉岡康太はベクトル束の研究を行い,インスタントンの個数の公式を与えた.
- 科学研究費補助金／基盤研究(S), 2007年競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 京都大学, 2005年 - 2006年箙多様体,モジュライ空間と表現論Donaldson不変量とネクラソフの分配関数の関連を吉岡とLothar Gottsche(研究協力者)と共同研究を行い、さらに引き続き望月拓郎も加えて研究を続けた。 4次元多様体の上のインスタントンのモジュライ空間を考え、その上の自然なコホモロジー類を積分するものがDonaldson不変量であるが、b_+=1のときには、不変量はリーマン計量に依存する。二つのリーマン計量に関するDonaldson不変量の差を与えるのが壁越え公式であるが、これがNekrasovのインスタントンの数え上げの母関数で書けることを証明した。(ただし階数が二のときに限る)トーリック曲面のときに、モジュライ空間へのトーラス作用を詳しく調べることにより、この結果が証明される。この研究は平成16年度から始めたものをさらに発展させたものであり、トーリック曲面とは限らない一般の射影曲面についても同じ公式が成り立つことまで証明を行った。 また、K理論版のインスタントンの数え上げのミラーにあたるSeiberg-Witten曲線に付随したSeiberg-Witten曲線に付随したΘ-関数を調べ,インスタントンの関数を調べ,インスタントンのモジュライ空間の座標環からSeiberg-Witten曲線が復元できるという,K理論版のNekrasovの予想の証明を完成した。上の壁越え公式の類似が同様に成立することも証明した。ただし、インスタントンのモジュライ空間の場合には、コンパクト化に現れる特異点のために不変量の定義をどのようにしたらいいのか分からなかったが、複素射影曲面に限ると、代数幾何的なコンパクト化上の直線束のオイラー標数を考えることができるので、これを定義として性質を調べた。 さらに、望月拓郎の協力を得て、階数が高い場合の考察を行い、階数に関する再帰的な壁越え公式を証明し、それがやはりNekrasovの分配関数で与えられることを証明した。
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2006年, 研究代表者競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(A), 2005年競争的資金
- 科学研究費補助金／若手研究(B), 2005年, 研究代表者競争的資金
- 科学研究費補助金／基盤研究(B), 2005年競争的資金
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 2000年 - 2002年標準束が自明な代数多様体上のベクトル束の研究この研究により得られた結果は以下の通り。 研究代表者の吉岡康太は安定ベクトル束が存在するための必要十分条件を求め,またモジュライ空間の連結性を示した.モジュライ空間がコンパクトである場合には,そのアルバネーゼ写像を決定し,またそのファイバーが既約超ケーラー多様体になることを示した.Beauvilleは既約超ケーラー多様体にたいして複素解析的(双有理的)不変量である周期を導入しているが,吉岡はさらにアルバネーゼ写像のファイバーとしてあらわれる既約超ケーラー多様体に対して,その周期を向井格子を使って書き下した.またその変形同値類が多様体の次元にしかよらないという著しい結果を示した.これによりモジュライ空間の位相構造に関する研究は階数が1の場合に帰着された.方法はフーリエ・向井変換とK3曲面の複素構造の変形理論を使ってなされたが,その過程でフーリエ・向井変換と安定性の間の関係について研究した.さらに楕円曲面上の安定層のモジュライ空間、K3曲面上の2次元のモジュライ空間、Gromov-Witten不変量の研究等についての研究を行ないいくつかの成果を得た。 また研究分担者の斎藤政彦は3次元Calabi-Yau多様体の一般種数におけるGromov-Witten不変量(一般には有理数)の母関数が適当な変数変換により整数不変量(BPS状態数)を用いて得られるというGopakumar-Vafa予想について研究した.特にβ次元Calabi-Yau多様体の純次元1の連接層のモジュライ空間を用いてBPS不変量の数学的な定義の候補を与え,特殊な場合ではあるが現在までのGromov-Witten不変量の具体的な計算と,その定義が整合的であることを確かめた. 研究分担者の山田泰彦は有理楕円曲面の上のD-braneに関する興味深い研究をした.モノドロミー群,Mordell-Weil格子,アフィンワイル群等の数学的に美しい構造が物理の観点から新たに見直され,今後も有理楕円曲面上のベクトル束のモジュライとの関係等発展が期待される. 齋藤や山田は対称性や幾何の観点からパンルベ方程式を研究しとく齊藤はBacklund変換が双有理幾何学に現われるフロップであることを示し、また有理曲面の変形理論がPainleve方程式を導く事を示した.これはパンルベ方程式のRiccati解の分類への応用がある。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 2000年 - 2002年超弦理論とモジュライ空間の幾何学本科学研究費の研究期間において,主に下記のテーマについて研究を行い,主に次の結果をえた. 1.カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウイッテン不変量とBPS不変量・Gopakumar-Vafa予想:細野・齋藤・高橋はCalabi-Yau 3-foldの純次元1の連接層のモジュライ空間を用いてBPS不変量の数学的な定義の候補を与え,Gopakumar-Vafa予想を用いて特殊な場合ではあるが現在までのGromov-Witten不変量の具体的な計算と,その定義が整合的であることを確かめた。 2.ホモロジカルミラー対称性と導来圏の幾何学:細野は,K3曲面の場合のホモロジー論的ミラー対称性を調べた.深谷は,ホモロジカルミラー対称性をFloerホモロジーとLagrangian部分多様体の立場から研究し,特にA_∞カテゴリーのホモロジカル代数についての統一的な研究を行った. 3.パンルベ方程式の初期値空間の代数幾何学・岡本・パンルベ対の変形理論:齋藤は,パンルベ方程式の初期値空間とそのBacklund変換を,高次元代数幾何学の立場から見直し,Backlund変換等の種種の性質を幾何学的に書き直す事を行った.初期値空間の一般化である岡本・パンルベ対の概念を導入して,その分類を行い,変形理論を援用し微分方程式を変形理論の言葉で完全に書き直せる事をしめし,またパンルベ系がハミルトニアン系で書けることの内在的証明をえた. 4.Painleve方程式とその拡張についてのLie理論的研究およびその離散化:研究分担者の野海と山田はPainleve方程式の対称性(Backlund変換)を見直し,アフィンWeyl群・アフィンLie環の観点からPainleve型非線形方程式に新しい視座を与えた.さらに研究は進展し,パンルベVI型方程式の新しいLax形式系の発見高野恭一との共同研究により,初期値空間の局所座標系とアファインワイル群との関係を研究した. 5.ベクトル束のモジュライ空間とその対称性:吉岡は代数曲面の上のベクトル束のモジュライ空間について研究を行い多くの成果をえた. 6.不変式論の新たな展開:向井は永田の反例について,新しい解釈と構成を行った.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 神戸大学, 1997年 - 1999年代数多様体の周期と一般超幾何函数の研究平成11年度においては、研究代表者は引続きミラー対称性予想の観点からカラビ-ヤウ多様体のグロモフ-ウイッテン理論におけるA-モデルおよび、B-モデルの計算および比較を行った.とくに有理楕円曲面がカラビ-ヤウ多様体の中に入っている時にその中に含まれる高い極数の曲線の数え上げに関して、細野忍、高橋 篤と共同でプレポテンシャルの満たすべき正則異常方程式を定式化し、1切断ではあるが一般極数の場合にプレポテンシャルの一般系を保形形式で書ける事を確かめてその正則異常方程式との整合性を確かめた。平成11年度は、California大学のGiventahl教授を京大数理研に招いて、レビューおよび研究討論を行った。研究分担者の野海正俊と山田泰彦はPainleve方程式の対称性(Backlund変換)を見直し,アフィンWeyl群・アフィンLie環の観点からPainleve型非線形方程式に新しい視座を与えた.研究分担者の吉岡康太はK3曲面の上のベクトル束のモジュライ空間が多くの場合に既約超ケーラー多様体になることを示した.またその周期を計算した.研究分担者の佐々木 武は,印付き3次曲面のモジュライ空間上定義された微分方程式の解を用いた一意化が複素単位球になる事を,吉田 正章と示した.また関連して,E6対称性を持つ、4変数の微分方程式系について解析を行った.以上の結果は下記の学術論文に発表されたことを付記しておく。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奨励研究(A), 神戸大学, 1997年 - 1998年ベクトル束のモジュライ空間の研究最近楕円有理曲面上のベクトル束のモジュライ空間のオイラー数が数理物理の進展により計算された。 これはN=4位相的ヤンミルズ理論における双対性と新たに提出された正則アノマリーに関する漸化式予想にモジュライ空間の基本的性質を組合わせて得られた。 私は数理物理を使って計算されたオイラー数を数学的手法により階数が2の場合に計算し、その値が完全に一致することを確かめた。この事は双対性の存在の根拠を与え、また正則アノマリーに関する漸化式予想に対する根拠を与える。N=4位相的ヤンミルズ理論における双対性を確認するのは一般に大変難しく、知られている例は射影平面とK3曲面の場合だけであった。私の計算は新たな例を与えると同時に、K3曲面の場合より複雑で、しかもきれいな関数で記述できた点でも興味深いと思われる。さて私の利用した方法はwa11 crossing公式を適用するというもので、高い階数の場合には今のところ通用しないと思っている。楕円ファイバー構造を利用した計算方法を確立し、他の階数の場合も扱えるようにするのは今後の課題である。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奨励研究(A), 広島大学, 1996年 - 1996年ベクトル束のモジュライの研究最近の研究で楕円ファイバー構造を持つ曲面上のベクトル束のモジュライ空間はよい性質を持ち、またかなり有用である事が分かってきた。例えばアーベル曲面上の階数2のベルトル束がなすモジュライ空間の場合、アーベル曲面を楕円曲線の直積に変形することにより、ベッチ数を計算できることがわかっている。今年度は階数が一般の場合にモジュライ空間の既約性や双有理的構造を調べた。特にそのことからデルペソ曲面上の単純なトーションフリー層のモジュライ空間の既約性を示した。既約性は半安定層のモジュライ空間の局所分解性や普遍族の存在性とも関係があり、意味のある事と思われる。また第一チャーン類に関するある条件のもと、モジュライ空間の有理性を示すことができた。この事実を示すことが、楕円ファイバー構造を持つ場合を扱ったひとつの動機となっている。更にアーベル曲面上のモジュライ空間の場合には第一チャーン類に関するある条件のもとピカ-ル群やアルバネ-ゼ写像を決定できた。この結果自体は線織面の場合の結果から予想できるものであるが、逆に線織面の場合の定式化が一般性をもつことを示唆しており意味のある事である。さて今度はアーベル曲面上のベクトル束をさらに詳しく解析するつもりである。アーベル曲面やK3曲面の場合はフーリエ-向井変換という重要な操作があるので、それとの関連も調べたい。なお階数を一般にするのは、フーリエ-向井変換では階数はそんなに意味があるものではなく、向井ベクトルの長さのみが本質的な量だからである。
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 広島大学, 1996年 - 1996年代数群の表現論の代数解析学的研究主として,筆者の定義したゲルファント超幾何方程式の拡張と,それに関連して生ずる表現論の問題について考察し,結果を得た. 以前の研究で,この方程式がホロノミー系になるためのひとつの十分条件は得られていたが,これについて更にリー群論的立場からの考察を行い,巾零軌道との関係を明らかにした. また,解の積分表示の存在について更に研究を進めた.どのような場合に解の積分表示がある種のラドン変換で与えられるかを定め,その場合のラドン変換の一般的性質について考察した.柏原正樹との共同研究で扱ったラドン変換は,射影直線に関するものであったが,今回は半単純リー群のある種の一般型放物部分群に関するものを対象とした.特に,ラドン変換の像がどのような方程式を満たすかという問題をD加群論の立場から研究した.ラドン変換の像が常にある種の方程式系(ヴァーマ加群と関連して具体的に書ける)をみたすことは証明できた.予想は,ラドン変換がもとの関係空間をその方程式系を満たす関数の全体に1対1にうつすということだが,全射性は有る意味で(D加群論的定式化のもとで)一般に言えた.単射性は,現在のところ一般線形群の場合のみが言えている.なお,この結果は実リー群の場合の大島利雄・関口英子の結果の複素ヴァージョンである.ある種のコホモロジー群の消滅が言えば,我々の結果から大島・関口の結果は従うのであるが,それは今後の問題である. その他,我々の超幾何方程式を定義する際の前提になっている,ヴァーマ加群の最大真部分加群についての有る事実の量子群版についても研究を行った.これは,今後我々の方程式を差分化する際に必要になるであろう基本的結果である.
- 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(B), 広島大学, 1996年 - 1996年多様体上のベクトル束の研究本研究では、多様体上のベクトル束の 1:代数幾何学的研究、2:代数解析学的研究、3:整数論的研究を行いベクトル束に関する以下の研究実績を得た。1:に於いては、(1)射影空間P^n(n【greater than or equal】4)上の階数2のベクトル束が線束に分解する為の必要十分条件を得、ベクトル束の線束への分解問題に関する重要な諸予想への新しい方針を見い出した。(2)C^3のNon-projective Moishezon compact化(X,Y)を、境界因子Yのnef性により、決定した。更に、Non-Stein多様体S上のC^1-bundleのStein性とS上のある階数2のベクトル束の自明性との同値性を示した。(3)第一チャーン類に関するある条件の下、楕円ファイバー構造をもつ曲面上のベクトル束のモジュライ空間の有利性を示すと共にアーベル曲面上のベクトル束のモジュライ空間のピカ-ル群やアルバネ-ゼ写像を決定した。2:に於いては、(1)半単純リー代数最高ウエイト加群のなかでも、特にコンパクトエルミート対称空間に関するものを研究した。さらに対応する量子群の最高ウエイト加群を研究し興味深い結果を得た。(2)一般型旗多様体上で、D-加群の立場から、ラドン変換の定義を与え、これらの諸性質を調べた。今後、ベクトル束の理論が本質的に効く可能性のある知見を得た。(3)一般化された超幾何関数に関する双対性を、twisted cohomology群の交点理論と外積構造を利用して、得た。3:に於いては、(1)4型領域上の正則尖点形式に付随するL-関数を、その部分Fourier展開係数を利用して積分表示し、ある条件の下で、L-関数の解析接続、関数等式を得た。これは、2次のSiegel尖点形式に関するKohnen-Skoruppaの結果の一般化である。(2)正標数局所体のp-進ガロア表現の圏はエタールなフロベニウス付きの微分加群の圏と圏同値になり,特に,惰性群が有限表面を経由するものは過収束な対象と対応することを示した。(3)複素多様体におけるRiemann-Hilbert対応の類似に当たる、p-進Hodge理論の層化及び相対化を研究した。