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FUKUYAMA Katusi
Graduate School of Science / Division of Mathematics
Professor

Researcher basic information

■ Research Keyword
  • uniform distribution theory
  • lacunary series
  • probability theory
■ Research Areas
  • Natural sciences / Basic analysis

Research activity information

■ Paper
■ MISC
  • 数論と確率論
    Katusi FUKUYAMA
    Sep. 2017, 数理科学, 55(9) (9), 36 - 37, Japanese
    Introduction commerce magazine

  • 福山 克司
    日本数学会, Jan. 2010, 数学, 62巻1号1--17(1) (1), 1 - 17, Japanese
    Introduction scientific journal

  • LIL for discrepancies of ${\theta^nx}$ : a graphical sketch (Number Theory and Probability Theory)
    FUKUYAMA Katusi
    Kyoto University, Apr. 2008, RIMS Kokyuroku, 1590, 10 - 27, English

  • フーリエ級数と確率論
    福山 克司
    Oct. 2007, 数理科学, 45巻10号41-45, Japanese
    Introduction scientific journal

  • 間隙級数の一様型重複大数の法則について
    FUKUYAMA KATUSI
    京都大学, 2004, 数理解析研究所講究録, 1351,, 41 - 48, Japanese
    Introduction research institution

  • On pseudorandom functions (5th Workshop on Stochastic Numerics)
    Fukuyama Katusi
    Kyoto University, Dec. 2001, RIMS Kokyuroku, 1240, 152 - 160, Japanese

  • Lacunary Walsh Seriesの従う極限定理について(Martingaleに関連する諸問題)
    福山 克司
    京都大学, Nov. 1989, 数理解析研究所講究録, 706, 102 - 109, Japanese

■ Lectures, oral presentations, etc.
  • Thresholds in metric discrepancy results for geometric progressions
    Katusi Fukuyama
    Recent Progress in Ergodic Theory, Feb. 2022
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Perturbed metric discrepancy results for geometric progressions
    Katusi Fukuyama
    Equidistribution: Arithmetic, Computational and Probabilistic Aspects, May 2019, English
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for geometric progressions with small ratios 3/2, 4/3, etc
    Katusi FUKUYAMA
    Seminar on Number Theory and Algorithm, Nov. 2017, English, Graz University of Technology, Austria, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for geometric progressions
    Katusi FUKUYAMA
    Various aspects of multiple zeta functions, Aug. 2017, English, Graduate School of Mathematics, Nagoya University, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for geometric progressions with ratios 3/2, 4/3, 8/3, 10/3, 13/6 and 17/8
    FUKUYAMA Katsushi, SAKAGUCHI Shinji, SHIMABE Osamu, チュクル マルティーナ
    日本数学年会統計数学分科会一般講演, Mar. 2017, Japanese, Tokyo Metroporitan University, Domestic conference
    Oral presentation

  • A metric discrepancy result with given speed
    István Berkes, FUKUYAMA Katsushi, NISHIMURA Takuya
    日本数学会秋期総合分科会統計数学分科会一般講演, Sep. 2016, Japanese, Kansai University, Domestic conference
    Oral presentation

  • Metric discrepancy results for geometric progressions with large ratios
    FUKUYAMA Katsushi, YAMASHITA Mai
    日本数学会年会統計数学分科会, Mar. 2016, Japanese, 筑波大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 等比数列の一様分布論
    FUKUYAMA Katsushi
    東北確率論セミナー, Jan. 2016, Japanese, 東北大学, Domestic conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for complex geometric progressions
    FUKUYAMA Katsushi, KURI Noriyuki
    日本数学会秋季総合分科会統計数学分科会, Sep. 2015, Japanese, 京都産業大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • On permutational invariance of the metric discrepancy results
    FUKUYAMA Katsushi, NODA Yutaro
    日本数学会年会統計数学分科会, Mar. 2015, Japanese, 明治大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • Non Conventional Limit Theorems: Kifer, Varadhan の論文紹介
    FUKUYAMA Katsushi
    ワークショップ確率論早春セミナー, Mar. 2015, Japanese, 立命館大学, Domestic conference
    Invited oral presentation

  • 有界間隙列の重複対数の法則について II
    FUKUYAMA Katsushi, Christoph Aistleitner
    日本数学会秋季総合分科会統計数学分科会, Sep. 2014, Japanese, Domestic conference
    Oral presentation

  • 「等比数列の一様分布論」
    FUKUYAMA kastushi
    日本数学会秋季総合分科会統計数学分科会特別講演, Sep. 2013, Japanese, 日本数学会, 愛媛大学, Domestic conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • The central limit theorem for subsequences of Erdős-Fortet sequence
    FUKUYAMA kastushi, 簑原 貴文
    日本数学会年会統計数学分科会, Mar. 2013, Japanese, 日本数学会, 学習院大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • Optimal bound for the discrepancies of lacunary sequences
    FUKUYAMA KATUSI, C. Aistleitner, FURUYA YUKAKO
    日本数 学会年会統計数学分科会, Mar. 2013, Japanese, 京都大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 等比数列の一様分布論
    FUKUYAMA KATUSI
    京都大学大学院理学研究科数学教室談話会, Feb. 2013, Japanese, 京都大学, Domestic conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for Erd ̋os-Fortet sequence
    FUKUYAMA KATUSI, MIYAMOTO SHOU
    日本数学会秋期総合分科会統計数学分科会, Sep. 2012, Japanese, 九州大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 指数的数列のディスクレパンシーの漸近挙動
    FUKUYAMA Katusi
    シンポジウム「確率論における極限定理」, Mar. 2012, Japanese, 筑波大学, 筑波大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • Hadamard 間隙列 のDiscrepancy の重複対数の法則の上からの評価の改善について
    FUKUYAMA Katusi, MITSUHATA Yusaku
    日本数学会年会統計数学分科会, Mar. 2012, Japanese, 日本数学会, 東京理科大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • Hadamard 間隙列 のDiscrepancy の重複対数の法則にあらわれる定数の範囲について
    FUKUYAMA Katusi, HIROSHIMA Nobuhiko, WATADA Tetsujin
    日本数学会総合分科会統計数学分科会, Sep. 2011, Japanese, 日本数学会, 信州大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 有界な間隙を持つ三角級数の重複対数の法則について
    FUKUYAMA Katusi, C. Aistleitner
    日本数学会統計数学分科会, Mar. 2011, Japanese, 日本数学会, 早稲田大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • Metric discrepancy results for lacunary sequences
    FUKUYAMA Katusi
    Functions in Number Theory and Their Probabilistic Aspects, Dec. 2010, English, 京都大学数理解析研究所, 京都大学数理解析研究所, International conference
    Poster presentation

  • 有界間隙を持つ三角級数の再帰性について
    FUKUYAMA Katusi, NEUPANE Dinesh
    日本数学会統計数学分科会, Sep. 2010, Japanese, 日本数学会, 名古屋大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • Metric discrepancy results for geometric progressions and its variations I, II, III
    FUKUYAMA Katusi
    -研究集会「一様分布論：夏の学校」, Aug. 2010, English, 関西セミナーハウス, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for various lacunary sequences
    FUKUYAMA Katusi
    20 Jahre Zahlentheoretisches Kolloquium, Jun. 2010, English, Technische Universit"at Graz, Technische Universit"at Graz, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • 小さい間隙を持つ数列のくいちがい量の漸近挙動について
    FUKUYAMA Katusi
    日本数学会統計数学分科会, Mar. 2010, Japanese, 日本数学会, 慶應義塾大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 有界な間隙を持つ三角級数の中心極限定理について
    FUKUYAMA Katusi
    日本数学会統計数学分科会, Sep. 2009, Japanese, 日本数学会, 大阪大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 間隙級数の極限挙動と一様分布論
    FUKUYAMA Katusi
    第48回実函数論・函数解析学合同シンポジウム, Aug. 2009, Japanese, 松本市中央公民館, Domestic conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • 有界な間隙しか持たない列のディスクレパンシーの漸近挙動について
    FUKUYAMA Katusi
    東京確率論セミナー, Jul. 2009, Japanese, 東京工業大学, 東京工業大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 間隙三角級数の中心極限定理について
    FUKUYAMA Katusi
    大岡山談話会, Jul. 2009, Japanese, 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻, 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻, Domestic conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Metric discrepancy results for sequences with bounded gaps
    FUKUYAMA Katusi
    Conference in memory of Walter Philipp: Dependence in Probablity, Analysis and Number Theory, Jun. 2009, English, Graz, Austria, Graz, Austria, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • Hardy-Littlewood-Pólya の列 の discrepancy が従う重複対数の法則について
    FUKUYAMA Katusi, 中田 啓介
    統計数学分科会, 日本数学会2009年 年会, Mar. 2009, Japanese, 日本数学会, 東京大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • On the law of the iterated logarithm for {n_k x}: non-constant limsup
    FUKUYAMA Katusi
    Random matrices, special functions and related topics, Nov. 2008, English, 京都大学数理解析研究所, 京都大学数理解析研究所, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • 数列 {n_k x} の並べ変えの discrepancy の漸近挙動について
    FUKUYAMA Katusi
    統計数学分科会, 日本数学会2008年 秋季総合分科会, Sep. 2008, Japanese, 日本数学会, 東京工業大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 正の加法的函数を重みとした可積分同分布独立確率変数列の大数の法則について
    FUKUYAMA Katusi, 小松 豊
    統計数学分科会, 日本数学会 2007年年会, Mar. 2008, Japanese, 日本数学会, 近畿大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • On the law of the iterated logarithm for discrepacies of θ^n x
    FUKUYAMA Katusi
    Workshop on number theory and probability, Oct. 2007, English, 京都大学数理解析研究所および国際高等研究所, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • 大きい間隙を持つ数列 {n_k x} の discrepancy の従う重複対数の法則
    FUKUYAMA Katusi
    統計数学分科会, 日本数学会2007年 秋季総合分科会, Sep. 2007, Japanese, 日本数学会, 東北大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • On the law of the iterated logarithm for discrepacies of θ^n x
    FUKUYAMA Katusi
    Rencontres Mathématiques en Rouen 2007, Jun. 2007, English, Université de Rouen, Université de Rouen, France, International conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • 間隙級数の再帰性について
    FUKUYAMA Katsushi, KONDO Ryota
    日本数学会年会 統計数学分科会, Mar. 2006, Japanese, 日本数学会, 中央大学, Domestic conference
    Oral presentation

  • 乱数と数値積分
    FUKUYAMA Katsushi
    超幾何方程式研究会, Jan. 2006, Japanese, 高山 信毅, 神戸大学, Domestic conference
    Invited oral presentation

  • 独立確率変数列の重複対数の法則について
    FUKUYAMA Katsushi, UENO Yohei
    確率論の極限定理の研究, Jan. 2006, Japanese, 福山克司, 九州大学国際ホール, Domestic conference
    [Invited]
    Invited oral presentation

  • 弱い連続率の下での間隙級数の重複対数の法則について
    FUKUYAMA Katsushi
    日本数学会秋季総合分科会 統計数学分科会, Sep. 2005, Japanese, 日本数学会, 岡山大学, Domestic conference
    Oral presentation

■ Affiliated Academic Society
  • 日本数学会

■ Research Themes
  • 一様分布論の解析的研究
    福山 克司
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 01 Apr. 2022 - 31 Mar. 2025

  • 一様分布論の確率論的研究
    福山 克司
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Kobe University, Apr. 2019 - Mar. 2022

  • 一様分布論の測度論的研究
    福山 克司
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Kobe University, 01 Apr. 2016 - 31 Mar. 2020
    等比数列の小数部分列の一様分布性についての研究が進展した。2016年に発表した論文により公比がある閾値より大きい場合に差異量の従う重複大数の法則に現れる定数を与える公式が得られており、また、閾値より小さい公比についても昨年いくつかの例について研究した結果を発表し、公比を型で分類した。その際、公比 3/2 については証明が煩雑となり、後回しにされていたが、この公比がVI型であり、現れる定数が(2/665)sqrt305671451762616889661445636790873/10314424798490535546171949055)であることを証明することに成功した。 公比3/2は一様分布論において最も困難な問題として有名であるが、測度論的定理としては極めて煩雑ではあるが、解析可能であることを示した意義がある。また現在までに解析可能な公比の中で最も方の大きいものであったことが証明の困難を導いたことも推察される。この結果はすでに投稿し受理済みである。また、等比数列の多次元への一般化として expanding な一次変換の冪について研究し、その中心極限定理を示すことに成功した。極限分散は一次元の場合と同様の相対速度を用いた積分級数で表せるが、それを通常の積分に変換することは場合が多岐にわたるので一般論を展開することはできなかった。従来は整数係数の一次変換のみについて同様の結果が得られていたが、この場合は単位区間の直積上の変換ととらえ容易に結果が得られるが、その条件を仮定せずに一般論を展開したので、様々な困難が生じることが明らかになった。

  • 佐倉 緑
    学術研究助成基金助成金／基盤研究(C), Apr. 2015 - Mar. 2018
    Competitive research funding

  • Recent progress in ergodic theory of number theoretic algorithms
    Nakada Hitoshi, ATSUJI Atsushi, TAMURA Yozo, TAMURA Akihisa, FUKUYAMA Kstusi, NATSUI Rie, HAMA Masaki, INOUE Kae, ISHIKAWA Shiro, MORITA Takehiko, EI Hiromi
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Keio University, 01 Apr. 2012 - 31 Mar. 2016
    The research on ergodic theory has had a strong relation to the theory of numbers even from the beginning until now. In particular, there are a number of open questions in the theory of binary, decimal, and continued fraction expansions. On the other hand, there are also new open questions concerning the theory of cryptography and the communication theory. In the present research, we mainly study the approximation theory of continued fractions with its speed of the convergence and also study the probabilistic estimate of the calculation costs of the Euclidean algorithms. We have some new results concerning these problems as well as other related subjects as the theory of uniform distributions.

  • Randomness in number theory
    Fukuyama Katusi, NAKADA HITOSHI, SUGITA HIROSHI, KAJINO NAOTAKA
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Kobe University, 01 Apr. 2012 - 31 Mar. 2016
    We investigated the uniform distributedness of geometric progression and made research on the law of the iterated logarithm which discribes the deviation from the uniform distribution. We tried to determine the constant and suceeded in having the general formula of the constant in the case the absolute value of the ratio is large. It solves the problem on the speed of convergence to the uniform distribution when the ratio is large.

  • Research on limit theorems for random sequences arising from number theory
    SUGITA Hiroshi, MORITA Takehiko, TAKANOBU Satoshi, SHIRA Tomoyuki, FUKUYAMA Katusi, TRINH Khanh Duy
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Osaka University, 01 Apr. 2010 - 31 Mar. 2015
    Probability theory has dealt with problems arising from random phenomena in nature and society, but this research seeks origins of probability in objects of number theory, such as density theorems and almost periodic functions. As a result, we could establish the framework to deal with density theorems and almost periodic functions and discover some new probabilistic limit theorems about them.

  • An ergodic study of algorithms
    NAKADA Hitoshi, TAMURA Akihisa, ATSUJI Atsushi, TAMURA Yozo, NATSUI Rie, KATSURA Takeshi, MIYAZAKI Takuya, HAMA Masaki, ISHIKAWA Shiro, FUKUYAMA Katsushi, YOSHIDA Masamichi, EI Hiromi, MORITA Takehiko, INOUE Kae
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Keio University, 2009 - 2011
    We studied some properties of algorithms, mostly appeared in number theoretic algorithms, as measurable dynamical systems. In particular, we focused problems related to the projects in below and got a number of new results. The projects we focused are the

  • Development of stochastic numerics and probability theory via lacunary series
    FUKUYAMA Katusi, HIGUCHI Yasunari, YAMAZAKI Tadashi, SUGITA Hiroshi, OGAWA Shigeyoshi, HAMANA Yuji, YASUTOMI Kenji
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Kobe University, 2005 - 2008
    一様分布論にあらわれるdiscrepancy の漸近挙動の解析に取り組み、その重複対数の法則的な挙動が完全にわかっていなかった発散等比数列やいわゆるHardy-Littewood-P´olya の列について完全な形の重複対数が成立することを解明した。また、有界型重複対数の法則に従いながらも完全形の重複対数の法則が成り立たない例の構成などをおこない、一様分布論の測度的研究の進展に寄与した。

  • 高山 信毅
    科学研究費補助金／基盤研究(A), 2007
    Competitive research funding

  • Integrated Research on The Up-to-Date Problems in Stochastic Numerics
    OGAW Shigeyoshi, MORI Makoto, ITO Shunji, NINOMIYA Shoiti, FUKUYAMA Katsushi, SUGITA Hiroshi
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Ritsumeikan Univ., 2003 - 2006
    The principal aim of this project was to develop the integrated researches on the comteporain problems in stochastic numericas as follows (names in paratheses ( ) are main investigators occupying each session); (1) Numerical integration by means of Monte Carlo Methods and random numbers (S.Ito, M.Mori, K.Fukuyama, H.Sugita, and S.Ogawa) (2) Numerical solution of the SDEs (S.Ninomiya and S.Ogawa) (3) Noncausal calculus based on the Ogawa integral and its applications (S.Ogawa) (4) Probabilistic solution of functional equations (K.Nishioka, S.Ogawa) (5) Development of stochastic methods and algorithms for problems in OR, Finance, Computer sciences and Mathematical economy. (S.Ninomiya, K.Nishioka and S.Ogawa) Through the whole period of the research activity, from 2003 to 2006, each research group cited above has pursuived each research plan, in a pararel way or sometimes in collaboration with other groups and as an integrated research group got many fruitful results not only theoretical but also the results of pratical importance, like the establishment of some computational algorithms in mathematical finance.

  • 高山 信毅
    科学研究費補助金／基盤研究(B), 2005
    Competitive research funding

  • 樋口 保成
    科学研究費補助金／基盤研究(B), 2005
    Competitive research funding

  • Probability Theory and Random numbers : Gap Theoretical Approach
    FUKUYAMA Katusi, HIGUCHI Yasunari, TAKAYAMA Nobuki, TAKANOBU Satoshi, NAGASE Noriaki
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Grant-in-Aid for Scientific Research (C), KOBE UNIVERSITY, 2002 - 2004
    Let ^2_0 be the class of function f with ∫^1_0 f(x)dx=0,∫^1_0 |f(x)|^2 dx < ∞. For given sequence {n_k} of increasing integers and given class X⊂ L^2_0 of functions, we set Ψ[X;{n_k}](t)=______ (Σ^K_f(n_kt))/(√) We investigated the value distribution of this function. We proved Ψ[{f};{n_k}]【less than or equal】< ||f||_A =Σ{|f^^^(v)|a.e. under Takahashi's gap condtion n_/n_k 【greater than or equal】> 1 + c/k^β(c >0,β<1/2). We also proved the uniform version of this result : Ψ[X;{n_k}]【less than or equal】sup||f||_A a.e. for X of some conditions.

  • Research on the formation and fluctuation of random shapes in mathematical models of statistical mechanics
    HIGUCHI Yasunari, NAKANISHI Yasutaka, MIYAKAWA Tetsuro, FUKUYAMA Katsushi, MURAI Joushin, YAMAZAKI Tadashi
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), KOBE UNIVERSITY, 2000 - 2002
    1. We found a new proof of the fact that there are only two extremal Gibbs states for the two dimensional Ising model based on the percolation argument. As an application of this new method, we proved that there are only two extremal points of translationally invariant Gibbs states for the two dimensional Widom-Rowlinson model for sufficiently low temperatures. 2. We gave an estimate of the speed of convergence for the time constant of the first passage Ising percolation for temperatures above the critical point. 3. We proved a Dobrushin-Hryniv type limit theorem for the two-dimensional Widom-Rowlinson model. The conditions for the result to hold are a little relaxed.

  • Real analitic probabilistic approach to theory of random numbers
    FUKUYAMA Katusi, TAKAYAMA Nobuki, YAMAZAKI Tadashi, HIGUCHI Yasunari
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Grant-in-Aid for Scientific Research (C), KOBE UNIVERSITY, 2000 - 2001
    1. We proved almost sure invariance principles for lacunary trigonometric series with gap n_/n_k【greater than or equal】1+c/k^α(α<1) assuming some condition relating to the convergence of fourth moment. As the collorary of this result, we can derive almost sure invariance principles and hence the classical law of the iterated logarithm for sum Σcos2πn_kt where n_k=[exp(k^β)] (β>4/9), for which P. Erdos made a conjecture. 2. We proved the polynomial central limit theorem for non-conventional aveage of Riesz-Raikov sums. The typical examples is Σf(θ^nx)g(θ^n^2x). Sum of this type had been ergodic point of view, but our result gives the probabilistic limit theorems. 3. We proved the central limit theorem for Σf(n_kt) where n_k is the Baker's sequence. The Baker's sequence is the increasing arrangement of the set consisting of arbitrary product of some integers belonging the finite set of coprime integers. 4. We proved the a.e. version of the law of the large numbers for sum Σf(n_kt) where n_k satisfies the condition of Koksma type.

  • Functional-analytic study on incompressible viscous fluid flows
    MIYAKAWA Tetsuro, ADACHI Tadayoshi, FUKUYAMA Katsushi, HIGUCHI Yasunari, HISHIDA Toshiaki, WATANABE Kiyoshi
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (B)., KOBE UNIVERSITY, 1998 - 2000
    MIYAKAWA deduced the space-time asymptotic profiles in terms of some Gaussian functions for a specific class of solutions of nonstationary Navier-Stokes equations in the whole space and the half-space, and then applied the results to finding a lower bound of rates of energy decay for general weak solutions. HISHIDA considered flows around a rotating body. He developed perturbation theory for the linearized operator and applied it to finding local-in-time solutions for every square-summable initial data. ADACHI developed spectral analysis for quantum many-body Hamiltonians which have stuctures similar to the above-mentioned linearized operator. His result is concerned with systems involving charged and uncharged particles. FUKUYAMA considered the problem of finding limit distributions for discrete dynamical systems arising from the study of lacunary trigonometric series. He deduced a non-Gaussian limit distribution.

  • Analysis of Critical Phenomena in Random Systems
    HIGUCHI Yasunari, WATANABE Kiyoshi, TAKANO Kyoichi, FUKUYAMA Katusi, KONNO Norio, YOSHIDA Nobuo
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Kobe University, 1997 - 1999
    We investigated the spectral gap of Glauber dynamics in a finite square in the low temperature case in two dimensions. This is known to have a uniform lower bound independent of the boundary condition when the temperature is higher than the critical point, and goes to zero as the size of the square goes to infinity in the low temperature case. We obtained a sharpe lower bound of the spectral gap for the + boundary condition up to the critical point : gap(L,+)【greater than or equal】exp{-CィイD8LlogLィエD8}, where L is the size of the box. This bound is better than the existing one. It is even better than the estimate which is known only for the low enough temperature. Further, we showed that the uniform spectral gap is equivalent to the strong mixing condition even for unbounded spin systems.

  • 自己吸引的ランダムウォークの漸近挙動の研究
    樋口 保成, 福山 克司
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 萌芽的研究, 神戸大学, 1998 - 1998
    自己吸引的ランダムウォークの再帰性についての研究を行った。二次元のモデルの中で最も吸引性の弱いタイプのonce reinforced random walkのシミュレーションを行った。一時限の理論的結果では通常のランダムウォークよりも再帰性が強いのだが、二次元のシミュレーションでは大きな差異は見つけることが出来なかった。 一方、一次元のモγルでDavisによる一般的な枠組の中で、再帰性について調べたとき、研究協力者である大学院生の竹島が初期重みの逆数の和の収束が非再帰性の十分条件になることを示した。 この条件は後に付け加えるreinforcementの強さに関わらない条件と言うことが出来る。逆にある種の条件の下ではこの初期重みの逆数の和の発散が再帰性の十分条件となるものと見られるが、初期重みの逆数の和自身は発散するが、自乗の和が収束して非再帰的になるようなモデルが知られており、精密な解析が必要なように思われる。この点については未解決のまま残った。

  • Random number theory and real analytic probability
    FUKUYAMA Katusi, TAKAYAMA Nobuki, IKEDA Hiroshi, YAMAZAKI Tadashi, HIGUCHI Yasunari
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Grant-in-Aid for Scientific Research (C), KOBE UNIVERSITY, 1997 - 1998
    Before our project, it had been proved that dependence of almost all irrational rotation vanish when it applied for the central limit theorem of Rademacher functions. This result explains why the quasi Monte Carlo methods are not effective in high dimensional space comparing with the ordinary Monte Carlo method. Concerning this result, we classified irrational rotations and studied in detail on irrational rotations which generate the sequence converges to dependent stationary sequence. We have given conditions to have independent limit sequence and succeeded to have the numerically effective mean to verify the independence of limit. We prove the central limit theorem for multiple n-ary transforms. This results is closely related to the theory of accelation of generation of random numbers by means of multiple transforms.

  • 高次元パーコレーションの研究
    樋口 保成, 壁谷 喜継, 相澤 貞一, 福山 克司
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 基盤研究(C), 神戸大学, 1996 - 1996
    主にイジングモデルのパーコレーションについて研究を行なった。臨界温度よりも高温のときには、磁場パラメータの値がパーコレーション臨界値より下の値をとるとき、原点をふくむ+スピンのクラスターのサイズの分布は指数的に減少するtailをもつことを証明した。この事実の証明には、Dobrushin-Shlosmanの意味での弱い混合性が、このパラメータ領域のGibbs分布に対して成立することを使っている。独立の場合のさまざまな結果がこの弱い混合性のもとで証明できることが分かったことになる。したがって、自然にこのような混合性がどのようなパラメータ領域で成り立つのかは興味深い問題となる。本研究では、これと比較すると少し強い条件であるDobrushin-Shlosmanのオリジナルな意味での混合性(DSM)について、いくつかの違ったアプローチで考察してみた。得られた結果をまとめると以下のようになる。 1) ランダムカレント展開を用いることにより、勝手な境界条件ωの下での任意の連結領域内の2点相関関数は、h≧2dのときに指数的に減少することを示した。これによりこのパラメータ領域においてDSMが成り立つことになる。この結果自身は新しいものではないが、領域を直方体の形に限れば、h≧d-1で同じ指数的減少を示せる。これは上の弱い混合性を意味していることが知られている。 2) スピンのカップリングを用いることにより、勝手な領域と任意の境界条件の下での2点相関関数は温度が半分のときの境界にスピンをおかない場合(自由境界条件)の2点相関関数を用いて表すことができることを示した。これを用いると、シルピンスキーガスケットの上でのイジングモデルでは常にDSMが成立していることをも示した。

  • 確率論的極限定理の実解析的研究
    福山 克司
    Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A), Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A), Kobe University, 1996 - 1996
    Rademacher関数系の中心極限定理においてはほとんどすべてのWeyl変換の従属性は減少してゆき、極限においては独立正規列が得られるということが示されていた。 これはWeyl変換を用いた積分の数値計算、所謂準モンテカルロ法の高次元空間におけるモンテカルロ法に比較した場合の有効性に関する結果を与えることになっている。 このことに関連して、Weyl変換を数論的性質により分類することにより、従属定常列に収束するようなWeyl変換に対する研究を行った。独立または従属定常列への収束のための条件を与え、数値実験可能な判定条件を与えることに成功した。また、例外的なWeyl変換はその次元の意味で、十分多く存在することを示した。このことは、良い条件による実行可能な判定の必要性を示すものであり、上に挙げた相関による数値実験判定の有効性を強調する結果となっている。以上の結果は下記の学術論文に発表されたことを付記しておく。

  • 確立論的極限定理の実解析的研究
    福山 克司
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奨励研究(A), 神戸大学, 1994 - 1994
    本研究に於ては、間隙級数論の確率論的取り扱いをすることを通じて、確率論的極限定理を実解析的に研究することの手始めとして、中心極限定理を題材に取り上げた。 Riesz-Raikov和とはΣ^^n__f(θ^kω)の形をした和のことであり、これの中心極限定理はθに代数的条件を付加したうえで、証明されていた。本研究においては任意のθ>1に対して、Riesz-Raikov和が中心極限定理にしたがうことをしめし、その極限分散をθを用いて記述し、さらに異なるθについてのRiesz-Raikov和の間の関係が、漸近的にに独立になるための条件を代数的に述べることに成功した。 また、中心極限定理に従う典型的な例として知られるRademadcher関数形についてその中心極限定理において、Weyl変換の従属性が消失することをも示した。これは乱数生成理論の基礎付けに応用される可能性がある。

  • 確率過程の関数型極限定理の研究
    笠原 勇二, 福山 克司, 伊藤 光弘, 神田 護, 梶谷 邦彦, 赤平 昌文
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 筑波大学, 1991 - 1991
    1.ジャンプ型確率微分方程式の解の安定性について、関数型の極限定理を証明した。すなわち、確率微分方程式の係数等の諸デ-タが或る適当な意味で収束するとき、解も対応する極限の確率微分方程式の解に収束し、その収束の意味は、SkorohodのJ_1ー位相についての法則収束の意味で成立する。この種の定理は既にいくつか知られているが、本研究の結果の新しいところは、極限の確率微分方程式に制限を置く代わり、係数の連続性を仮定しないでもよい点にあり、これは応用上有益である。 2.統計学に現れるtrimmed sumについて関数型の極限定理を与えた。独立同分布に従うサンプルから一定の比率で下位のものと上位のものを除外して残りのサンプルの和を考えたものをtrimmed sumと呼ぶが、これに関する古典的な定理(Stiglerの定理)の拡張として、空間方向および時間方向についてパラメ-タを入れて関数型の極限定理が成立することを証明した。経験分布を用いる新しい手法によるもので、これはStiglerの定理により深い理解を与えるたけでなく、検定等への応用が期待できる。 3.必ずしも独立とは限らない確率変数列のうち、weakly multiplicative systemになっているものについては独立なケ-スと同様に中心極限定理が成り立つことが知られているが、その収束の速さを与えた。またこの結果をヘルダ-連続性を持つ分布の下でのlacunary三角級数に適用できることを示した。 4.遷移確率密度を持つ多次元のレヴィ過程について次のことを示した。閉集合Bがsemipolarであるための必要十分条件は、任意のルベ-グ零集合の時間に制限してみたときこの確率過程が集合Bをヒットする確率が初期値に依らずに零になることである。

  • 多次元拡散過程及び関連分野の研究
    平良 和昭, 福山 克司, 柴田 良弘, 若林 誠一郎, 神田 護, 梶谷 邦彦
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 一般研究(C), 筑波大学, 1991 - 1991
    1.研究目的:一次元拡散過程は、W.Feller,E.B.Dynkin,H.P.McKean JR.,伊藤清等によって解析的にも確率論的にも完全に解明されている。しかしながら、多次元拡散過程は、解析学における偏微分方程式論、関数解析学、複素解析学、確率論と密接に関連する重要な研究課題であるにも拘わらず、一次元の場合と比べると完全な解明からは未だ遠い状態にある。本研究の目的は、多次元拡散過程を解析学の立場から総合的に研究することである。 2.研究実績:研究代表者及び分担者は、多次元拡散過程の境界問題を、最新の偏微分方程式的手法及び関数解析的手法を用いて研究するアプロ-チを発展させることにより、楕円型とは限らない一般の境界条件の場合を詳しく考察することができた。さらに、この研究を通じて、偏微分方程式論における各種の十分条件を、「拡散粒子の運動」という具体的なイメ-ジを通じて、直観的に解釈することを試みた。解析学の偏微分方程式論、関数解析学、確率論の三分野の接点に光を当てる、この研究結果は、「Boundary Value Problems and Markov Processes」(境界値問題とマルコフ過程)、「On the Existence of Feller Semigroups with Boundary Conditions」(境界条件付きのフェラ-半群について)と題してそれぞれ講義録及び特集論文として、シュブリンガ-社(ドイツ)、アメリカ数学会から出版された。これは、この方面で現在最も進んだ研究結果として、欧米を中心に高く評価されたことの証左であり、本研究の目的は十分に達成することができたといえる。 一次元拡散過程の研究の例を見るまでもなく、多次元拡散過程及び関連する諸問題を多分野から総合的に研究して行くことは、今後の解析学の発展にとって益々重要になるものと思われる。

  • 弱い従属性を持つ確率変数列の従う極限定理の研究
    福山 克司
    日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 奨励研究(A), 筑波大学, 1990 - 1990

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